Численные методы. Корнюшин П.Н. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

69
Как известно, линейное уравнение a
1
x
1
+a
2
x
2
=b изображается на плоскости x
1
Ox
2
прямой
линией (l), все точки которой имеют координаты x
1
и x
2
, удовлетворяющие этому уравнению.
Прямая (l) делит плоскость x
1
Ox
2
на две полуплоскости. Для точек одной из этих полуплоскостей
a
1
x
1
+a
2
x
2
<b, для точек другой a
1
x
1
+a
2
x
2
>b, а если причислять прямую (l) (границу этих
полуплоскостей) к ним самим, то для точек одной из них a
1
x
1
+a
2
x
2
≤
b, а для точек другой
a
1
x
1
+a
2
x
2 ≥
b.
Как узнать, с какой стороны от прямой (l) выражение a
1
x
1
+a
2
x
2
(как говорят, линейная
форма a
1
x
1
+a
2
x
2
) меньше, чем b и с какой стороны оно больше, чем b? Для этого достаточно в
форму a
1
x
1
+a
2
x
2
вместо x
1
и x
2
подставить координаты какой-нибудь определенной точки, не
лежащей на прямой (l).
Например, пусть имеем неравенство 3x
1
+2x
2 ≥
6. Соответствующая прямая (l), уравнение
которой есть 3x
1
+2x
2
=6, легко строится по отрезкам, которые она отсекает на осях координат. Т.к.
при x
2
=0 будет x
1
=2, а при x
1
=0 будет x
2
=3, то (l) отсекает на оси x
1
отрезок OA
1
=2, а на оси x
2
отрезок OA
2
=3 (рис.6.2).
С какой же стороны будет 3x
1
+2x
2 ≥
6? Для ответа на этот вопрос возьмем, например, точку
M с координатами x
1
=2,5; x
2
=0, тогда 3x
1
+2x
2
=3*2,5+2*0=7,5>6. Значит 3x
1
+2x
2 ≥
6 для точек той
полуплоскости, ограниченной прямой (l), в которой лежит точка M и которая показана на рис.6.2
штриховкой вдоль прямой (l). Если в качестве точки M взять начало координат, то получим
3x
1
+2x
2
=3*0+2*0=0, откуда следует вывод о том, что 3x
1
+2x
2 ≥
6 с другой стороны от прямой (l),
нежели начало координат.
Итак, всякое линейное неравенство a
1
x
1
+a
2
x
2
≤
b ( ≥ b) изображается на плоскости x
1
Ox
2
некоторой полуплоскостью, которую можно найти, построив прямую a
1
x
1
+a
2
x
2
=b (границу этой
полуплоскости) и подставив в левую часть ее уравнения координаты какой-нибудь точки, не
лежащей на этой прямой.
Например, неравенство 4x
1
–2x
2
≤
3 изображается полуплоскостью, показанной на рис.6.3
(граничная прямая отсекает на осях отрезки OA
1
=0,75 и OA
2
=-1,5, а изображающая полуплоскость
расположена с той стороны от этой прямой, с которой расположена штриховка).
Пусть теперь имеем систему двух линейных неравенств: 
                                               69



       Как известно, линейное уравнение a1x1+a2x2=b изображается на плоскости x1Ox2 прямой
линией (l), все точки которой имеют координаты x1 и x2, удовлетворяющие этому уравнению.
Прямая (l) делит плоскость x1Ox2 на две полуплоскости. Для точек одной из этих полуплоскостей
a1x1+a2x2b, а если причислять прямую (l) (границу этих
полуплоскостей) к ним самим, то для точек одной из них a1x1+a2x2 ≤ b, а для точек другой
a1x1+a2x2 ≥ b.
       Как узнать, с какой стороны от прямой (l) выражение a1x1+a2x2 (как говорят, линейная
форма a1x1+a2x2) меньше, чем b и с какой стороны оно больше, чем b? Для этого достаточно в
форму a1x1+a2x2 вместо x1 и x2 подставить координаты какой-нибудь определенной точки, не
лежащей на прямой (l).
       Например, пусть имеем неравенство 3x1+2x2 ≥ 6. Соответствующая прямая (l), уравнение
которой есть 3x1+2x2=6, легко строится по отрезкам, которые она отсекает на осях координат. Т.к.
при x2=0 будет x1=2, а при x1=0 будет x2=3, то (l) отсекает на оси x1 отрезок OA1 =2, а на оси x2
отрезок OA2=3 (рис.6.2).
       С какой же стороны будет 3x1+2x2 ≥ 6? Для ответа на этот вопрос возьмем, например, точку
M с координатами x1=2,5; x2=0, тогда 3x1+2x2=3*2,5+2*0=7,5>6. Значит 3x1+2x2 ≥ 6 для точек той
полуплоскости, ограниченной прямой (l), в которой лежит точка M и которая показана на рис.6.2
штриховкой вдоль прямой (l). Если в качестве точки M взять начало координат, то получим
3x1+2x2=3*0+2*0=0, откуда следует вывод о том, что 3x1+2x2 ≥ 6 с другой стороны от прямой (l),
нежели начало координат.
       Итак, всякое линейное неравенство a1x1+a2x2 ≤ b ( ≥ b) изображается на плоскости x1Ox2
некоторой полуплоскостью, которую можно найти, построив прямую a1x1+a2x2=b (границу этой
полуплоскости) и подставив в левую часть ее уравнения координаты какой-нибудь точки, не
лежащей на этой прямой.
       Например, неравенство 4x1–2x2 ≤ 3 изображается полуплоскостью, показанной на рис.6.3
(граничная прямая отсекает на осях отрезки OA1=0,75 и OA2=-1,5, а изображающая полуплоскость
расположена с той стороны от этой прямой, с которой расположена штриховка).




       Пусть теперь имеем систему двух линейных неравенств:

Страницы