Численные методы. Корнюшин П.Н. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

81
2) всякое линейное неравенство a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
≤
b
)( b≥
изображается одним из двух
полупространств, на которые все пространство разбивается плоскостью a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
=b (включая
ее);
3) всякая система линейных неравенств-ограничений задачи
mmmm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
≤++
≤++
≤++
332211
2323222121
1313212111
...............................
;
;
изображается множеством точек, заполняющих некоторый выпуклый многогранник (см. рис.
6.19), но которое, в частности, может оказаться пустым (тогда соответствующая задача
неразрешима) либо быть бесконечным выпуклым многогранным множеством;
4) требование неотрицательности переменных
0;0;0
321
≥≥≥ xxx означает, что
многогранник ограничений расположен в первом октанте системы осей x
1
, x
2
, x
3
;
5) целевая функция Z=c
1
x
1
+c
2
x
2
+c
3
x
3
изображается параллельно перемещающейся
плоскостью c
1
x
1
+c
2
x
2
+c
3
x
3
=const (поверхность уровня целевой функции – см. рис.6.19);
6) максимум (минимум) целевой функции всегда достигается в какой-то вершине
многогранника ограничений.
Если же задача линейного программирования выражается большим числом параметров,
чем три, можно продолжать пользоваться геометрической терминологией, несмотря на то, что уже
нет реальных геометрических образов и картин, которые бы изображали соответствующие
понятия (имеющие чисто алгебраическую природу). Такое «геометрическое» мышление в
многомерном пространстве удобно и полезно, т.к. оно позволяет ориентироваться в громоздких
алгебраических преобразованиях, используемых в задачах линейного программирования.
Итак, можно сделать следующие обобщения.
1) Всякое линейное уравнение a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=b «изображается» некоторой плоскостью
(гиперплоскостью) в n-мерном пространстве осей x
1
, x
2
,…,x
n
.
2) Всякому линейному неравенству a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
≤
b )( b≥ соответствует одно из двух
полупространств, на которые гиперплоскость a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=b делит все n-мерное
пространство.
3) Всякой системе линейных неравенств-ограничений задачи 
                                                  81




      2) всякое линейное неравенство a1x1+a2x2+a3x3 ≤ b (≥ b) изображается одним из двух
полупространств, на которые все пространство разбивается плоскостью a1x1+a2x2+a3x3=b (включая
ее);
      3) всякая система линейных неравенств-ограничений задачи
                                   a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ≤ b1 ;
                                  a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 ≤ b2 ;
                                       ...............................
                                  a m1 x1 + a m 2 x2 + a m3 x3 ≤ bm
изображается множеством точек, заполняющих некоторый выпуклый многогранник (см. рис.
6.19), но которое, в частности, может оказаться пустым (тогда соответствующая задача
неразрешима) либо быть бесконечным выпуклым многогранным множеством;
        4) требование неотрицательности переменных x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0 означает, что
многогранник ограничений расположен в первом октанте системы осей x1, x2, x3;
        5) целевая функция Z=c1x1+c2x2+c3x3 изображается параллельно перемещающейся
плоскостью c1x1+c2x2+c3x3=const (поверхность уровня целевой функции – см. рис.6.19);
        6) максимум (минимум) целевой функции всегда достигается в какой-то вершине
многогранника ограничений.
        Если же задача линейного программирования выражается большим числом параметров,
чем три, можно продолжать пользоваться геометрической терминологией, несмотря на то, что уже
нет реальных геометрических образов и картин, которые бы изображали соответствующие
понятия (имеющие чисто алгебраическую природу). Такое «геометрическое» мышление в
многомерном пространстве удобно и полезно, т.к. оно позволяет ориентироваться в громоздких
алгебраических преобразованиях, используемых в задачах линейного программирования.
        Итак, можно сделать следующие обобщения.
1) Всякое линейное уравнение a1x1+a2x2+…+anxn=b «изображается» некоторой плоскостью
    (гиперплоскостью) в n-мерном пространстве осей x1, x2,…,xn.
2) Всякому линейному неравенству a1x1+a2x2+…+anxn ≤ b (≥ b) соответствует одно из двух
    полупространств, на которые гиперплоскость a1x1+a2x2+…+anxn=b делит все n-мерное
    пространство.
3) Всякой системе линейных неравенств-ограничений задачи

Страницы