Численные методы. Корнюшин П.Н. - 79 стр.

                                                  79



       Таблица 4
        Тип        Провозные способности судов в         Эксплуатационные расходы судов за
       судна          единицу времени, тыс. т                единицу времени, тыс. руб.

                   на линии 1        на линии 2            на линии 1          на линии 2

         1             3                 16                   10                   15

         2             9                 30                   24                   30


       Требуется составить план работы судов, обеспечивающий выполнение заданного объема
перевозок в указанное время с минимальными эксплуатационными расходами.
       Решение. В качестве параметров управления выберем время, назначенное судну каждого
типа для работы на каждой из линий, так что намечаемый план работы судов будет состоять из
следующих величин:
       x11 – время работы судов 1 типа на линии 1;
       x12 – то же, на линии 2;
       x21 – время работы судов 2 типа на линии 1;
       x22 – то же, на линии 2.
       При таком плане эксплуатационные расходы составят сумму (в тыс. руб.)
                                Z=10x11+15x12+24x21+30x22,  (4)
которая является целевой функцией задачи; ее надо минимизировать.
       Ограничения задачи запишутся в виде следующих соотношений:
                                     x11 + x12 ≤ 3;
                                     x 21 + x22 ≤ 3;
                                                               (5)
                                  3x11 + 9 x21 = 18;
                                 16 x12 + 30 x22 = 48,
где первые два выражают требования выполнить перевозки в заданное время, а последние два
выражают требования выполнить заданный объем перевозок на каждой линии. К этим
ограничениям добавляются требования неотрицательности:
                             x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x 21 ≥ 0, x22 ≥ 0. (6)
       Полученная задача линейного программирования отличается от предыдущих тем, что в
ней 4 переменных, и для того чтобы можно было получить решение графически, надо свести ее к
задаче с двумя переменными. Это можно сделать, выразив, например, из двух последних
ограничений-равенств (5) переменные x21 и x22 через переменные x11 и 12:
                                       1
                                  x21 = (6 − x11 );
                                       3                     (7)
                                        8
                                  x22 = (3 − x12 )
                                       15
и подставив эти выражения в целевую функцию (4), во второе неравенство и в последние два
неравенства (6). Тогда после простейших вычислений получим задачу:
                                   Z = 2 x11 − x12 + 96 → min;
                                           x11 + x12 ≤ 3;
                                         5 x11 + 8 x12 ≥ 9;
                                         x11 ≤ 6; x12 ≤ 3;
                                         x11 ≥ 0; x12 ≥ 0.
       Если отложим на оси абсцисс величину x11, а на оси ординат x12 (рис.6.18), то эти
ограничения приведет к многоугольнику ABCD (прямые x11=6 и x12=3 не входят в звенья этого