Составители:
11
1. Формулировка задачи реального мира в математических терминах.
Это и есть построение математической модели.
2. Анализ или решение полученной математической задачи.
3. Интерпретация математических результатов в контексте
первоначальной задачи реального мира, например, получение ответа на
ранее поставленный вопрос.
В примере с населением задача, возникающая в реальном мире –
это определение плотности населения в
некоторый будущий момент
времени. Математическая модель состоит из списка переменных (
P и t),
которые описывают данную ситуацию, а также одного или нескольких
уравнений, связывающих эти переменные (
dP/dt = kР, Р(0)=P
0
), причем
эти уравнения должны быть известны или принимаются как
выполняющиеся в рамках данной модели.
Математический анализ состоит из решения этих уравнений (в
данном случае определяется
Р как функция, зависящая от времени t).
Наконец, мы применяем полученные математические результаты, чтобы
попытаться ответить на первоначально заданный вопрос о реальном мире.
Однако весьма возможно, что ни одно решение дифференциального
уравнения не соответствует всей известной информации. В таком случае
мы должны заподозрить, что дифференциальное уравнение неточно
описывает реальный мир. Например, решения уравнения (1.5) имеют вид
P(t) = Сe
kt
где С – положительная константа, но ни для какого значения
констант
k и С функция P(t) не описывает точно фактический рост
населения во всем мире в течение нескольких прошлых столетий.
Возможно, надо поэтому написать более сложное дифференциальное
уравнение, в котором принимается во внимание влияние перенаселения на
коэффициент рождаемости, нехватка продовольствия и другие факторы.
Это должно быть расценено не как отказ от модели, разобранной в
примере 1.5, а
как понимание того, что нужно учесть влияние
дополнительных факторов при изучении роста численности населения.
Действительно, уравнение (1.5) является весьма точным при некоторых
обстоятельствах. Например, оно выполняется для роста численности
колонии бактерий при условиях неограниченного продовольствия и
пространства.
Но в нашем примере населения мы игнорировали эффекты таких
факторов, как изменение показателей рождения
и смертности. Это сделало
математический анализ весьма простым, возможно, даже нереалистичным.
Хорошая математическая модель удовлетворяет двум
противоречащим требованиям: она должна в достаточной степени
учитывать все существенные детали, чтобы представить ситуацию в
реальном мире с относительно небольшой погрешностью, и в то же время
должна быть достаточно простой, чтобы можно было осуществить
математический
анализ на практике. Если модель столь детализирована,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
