Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

9
Из этого следует, что С = 1000 и что e
k
= 2, так что k = ln 2 ≈
0.693147. При этом значении
k дифференциальное уравнение (1.5)
принимает следующий вид:
PP
dt
dP
693147.0)2(ln ≈=
Замена
k = ln 2 и С = 1000 в (1.6) дает частное решение P(t) =
1000(
e
ln2
)
t
= 1000⋅2
t
(так как e
ln2
=2), которое удовлетворяет указанным
условиям. Можно использовать это частное решение, чтобы предсказать
численность колонии бактерий в будущем. Например, предсказанная
численность бактерий после полутора часов (
t = 1.5) равна:
Р(1.5) = 1000 • 2
3/2
≈ 2828.
Условие
Р(0) = 1000 в примере 6 называют начальным условием,
потому что часто пишут дифференциальные уравнения, для которых
t = 0
является "временем пуска". На рис. 3 показано несколько различных
графиков функции вида
P(t) = Сe
kt
при k = ln 2. Графики всего
бесконечного множества решений
dP/dt = kР фактически заполняют всю
двумерную плоскость, и никакие два из них не пересекаются. Кроме того,
выбор любой точки
P
0
на оси P определяет Р(0). Поскольку через каждую
такую точку проходит только одно решение, то мы видим, что начальное
условие
Р(0)=P
0
определяет единственное решение, согласующееся с
имеющимися данными.
Текст на MATLAB
k=log(2);
t=-1:0.5:5;
C=[ -0.12; -0.06; -0.03; -0.01; -0.005; 0.005; 0.01; 0.03; 0.06; 0.12];
P=C*exp(k*t);
plot(t,P);
title('P(t)=C*e^k^*^t');
xlabel('t');
ylabel('P(t)');
text(3.1,2.78, 'P(t)= 0.12*e^k^*^t\rightarrow');
text(3.45,1.78, 'P(t)= 0.06*e^k^*^t\rightarrow');
text(3.2,0.85, 'P(t)= 0.03*e^k^*^t\rightarrow');
text(3.1,-0.78, 'P(t)= -0.03*e^k^*^t\rightarrow');
text(3.45,-1.78, 'P(t)= -0.06*e^k^*^t\rightarrow');
text(3.1,-2.78, 'P(t)= -0.12*e^k^*^t\rightarrow');
grid on
Краткое обсуждение прироста населения в примерах 1.5 и 1.6
иллюстрирует процесс математического моделирования (рис. 1.4), который
включает следующие этапы.

Страницы