Составители:
8
Пример 1.4. Закон Торричелли подразумевает, что скорость
изменения объема V воды в резервуаре, из которого вытекает вода (рис.
1.2), пропорциональна квадратному корню из глубины у воды в
резервуаре:
yk
dt
dV
−=
(1.4)
где k – константа. Если резервуар – вертикальный цилиндр с площадью
поперечного сечения А, то V = Ау, так что dV/dt = A
⋅
(dy/dt). Тогда
уравнение (1.4) имеет вид:
yh
dt
dy
−=
где h =k/A — константа.
Пример 1.5. Скорость изменения численности населения с
постоянными показателями рождения и смертности во многих простых
случаях P(t) пропорциональна к численности населения. Иными словами:
kP
dt
dP
=
(1.5)
где
k — коэффициент пропорциональности.
Обсудим пример 1.5 подробнее. Сначала заметим, что каждая
функция:
P(t)=Сe
kt
(1.6)
является решением дифференциального уравнения (1.5).
Проверяем это утверждение следующим образом:
P'(t) = Cke
kt
= k(Ce
kt
) = kP(t)
для всех вещественных чисел
t. Поскольку подстановка каждой функции
вида (1.6) в уравнение (1.5) порождает тождество, то все такие функции –
решения уравнения (1.5).
Таким образом, даже если значение константы
k известно,
дифференциальное уравнение
dP/dt = kР имеет бесконечно много
различных решений вида
P(t)=Сe
kt
, одному для каждого значения
"произвольной" константы
С, что типично для дифференциальных
уравнений. Благодаря этому можно использовать дополнительную
информацию для выбора из множества всех этих решений того частного
решения, которое удовлетворяет условиям изучаемой задачи.
Пример 1.6. Предположим, что
P(t)=Сe
kt
— численность колонии
бактерий в момент времени
t. Численность колонии в момент времени t = 0
была равна 1000 и что количество бактерий удваивается через каждый час.
Эта дополнительная информация о
P(t) приводит к следующим
уравнениям:
1000 =
Р(0) = Ce
0
= C,
2000 =
Р(1) = Ce
k
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
