Составители:
6
1 Основные понятия о математических моделях на основе
дифференциальных уравнений
Законы Вселенной написаны на языке математики. Алгебра решает
много задач с постоянными величинами, но самые интересные природные
явления включают изменение и описываются уравнениями, которые
связывают изменяющиеся величины.
Поскольку производная dx/dt = f′(t) функции f является скоростью
изменения величины х = f(t), которая зависит от независимой переменной t,
естественно, что
уравнения, содержащие производные, часто
используются для описания изменений, происходящих во Вселенной.
Уравнение, связывающее неизвестную функцию и одну или несколько ее
производных, называют дифференциальным уравнением [5]:
Пример 1.1. Дифференциальное уравнение:
22
dx
x
t
dt
=
+
содержит как неизвестную функцию x(t), так и ее первую производную х'(t)
= dx/dt. Дифференциальное уравнение:
2
2
370
dy dy
y
dx dx
+
+=
содержит неизвестную функцию у независимой переменной х и ее произ-
водные: первого порядка (первая призводная) – у' и второго порядка
(вторая призводная) – у".
Изучение дифференциальных уравнений имеет три основных цели.
1. Научиться составлять дифференциальное уравнение, которое
описывает изучаемое физическое явление.
2. Найти – точно или приблизительно – соответствующее решение
полученного уравнения.
3. Интерпретировать
найденное решение.
В алгебре обычно ищут неизвестные числа, которые удовлетворяют
какому-нибудь уравнению, например х
3
+ 7х
2
- 11х + 41 = 0. Однако при
решении дифференциального уравнения нам необходимо найти
неизвестные функции у = у(х), для которых выполняется тождество типа
у'(х) = 2ху(х) на некотором интервале вещественных чисел. Обычно нужно
найти все решения дифференциального уравнения, если это возможно.
Пример 1.2. Если С – константа и
()
2
x
yx Ce=
(1.1)
то
(
)
()
(
)
22
22 2
xx
dy
Cxe xCe x
y
dx
== =
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
