Составители:
7
Таким образом, каждая функция у(х) вида (1.1) удовлетворяет
дифференциальному уравнению:
dy/dx=2xy (1.2)
для всех х. В частности, равенство (1.1) определяет бесконечное семейство
различных решений этого дифференциального уравнения, по одному
решению для каждого значения произвольной постоянной С. Методом
разделения переменных[5] можно показать, что каждое решение
дифференциального уравнения (1.2) имеет форму,
указанную в равенстве
(1.1).
Следующие три примера иллюстрируют процесс перевода научных
законов и принципов на язык дифференциальных уравнений. В каждом из
этих примеров независимой переменной является время t, но далее будут
приведены примеры, в которых другая величина, а не время, служит
независимой переменной.
Пример 1.3. Закон охлаждения, установленный Ньютоном, может
быть сформулирован
так: скорость изменения (в данном случае имеется в
виду скорость изменения относительно времени t) температуры T(t) тела
пропорциональна разности между Т и температурой окружающей среды А
(рис. 1.1). Иными словами,
()
dT
kT A
dt
=
−−,
(1.3)
где k – положительная константа. Заметим, что если Т > А, то dT/dt < 0, так
как температура – убывающая функция времени t, и тело охлаждается. Но
если Т < А, то dT/dt > 0, так что Т увеличивается.
Таким образом, физический закон представлен в виде дифференци-
ального уравнения (1.3). Если известны значения k и А,
то можно найти
явную формулу для T(t), а затем, с помощью этой формулы, будем
предсказывать температуру тела в будущем.
Рис.1.1. Закон охлаждения,
установленный Ньютоном,
т.е. равенство (1.3), описывает
охлаждение горячего камня в
воде.
Температура T
Температура A
Рис. 1.2. Закон вытекания
Торричелли, т.е. уравнение (1.4),
описывает вытекание воды из
резервуара.
Объем V
y
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
