Составители:
13
2 Модели типа ускорение – скорость
2.1 Скорость и ускорение
С помощью непосредственного интегрирования можно решить
множество важных задач о движении частицы (или точки, имеющей
определенную массу), если известны силы, действующие на частицу [6].
Движение частицы по прямой линии (ось
х) описывается ее положением:
x = f(t)
т.е. функцией, дающей ее координату
х в момент времени t. Скорость
частицы определяется равенством:
v(t)=f’(t), т.е. v = dx/dt.
Ускорение тела
a(t) равно a(t) = v'(t) = x"(t) или, в обозначениях
Лейбница:
2
2
d
t
xd
dt
dv
a ==
Второй закон Ньютона (закон движения тела под воздействием
силы) гласит, что если сила
F(t) действующая на частицу, направлена
вдоль ее линии движения, то:
ma(t) = F(t); т.е. F = ma,
где
m – масса частицы.
Если сила
F известна, то уравнение x"(t) = F(t)/m можно
проинтегрировать дважды. Этим будет найдена функция, дающая
положение
x(t). Эта функция будет содержать две константы,
появляющиеся после интегрирования. Эти две произвольные постоянные
часто определяются по начальному положению
х
0
= х(0) и начальной
скорости
v
0
= v(0) частицы.
Постоянное ускорение. Предположим теперь, что сила
F, а значит
и ускорение а = F/m, являются постоянными. Начнем с уравнения:
dt
dv
a =
(a – константа).
Проинтегрировав обе части, получим:
(
)
1
Catadttv +==
∫
Мы знаем, что
v = v
0
, когда t = 0, и подстановка этой информации в
предыдущее уравнение дает
C
1
= v
0
. Так что
()
0
vat
dt
dx
tv +==
. (2.1)
Второе интегрирование дает:
() ( )
20
2
0
2
1
Ctvattdvatvdttx ++=+==
∫∫
,
а подстановка
t = 0, x = x
0
дает С
2
= x
0
. Поэтому:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
