Составители:
15
2.2 Задача пловца
На рис. 2.1 схематично представлена текущая на север река
шириной
w = 2а. Линии х = ±а представляют собой берега реки, а ось у
проходит посередине реки. Предположим, что скорость воды
увеличивается по мере приближения к центру реки, а зависимость
х до
центра определяется формулой:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
0
1
a
x
vv
R
. (2.3)
Уравнение (2.3) позволяет проверить, что вода действительно течет
быстрее всего в центре,
v
R
= v
0
, и что v
R
= 0 на каждом берегу реки.
Предположим, что пловец начинает плыть из точки (–
а, 0) на
западном берегу и плывет на восток с постоянной скоростью
v
s
относительно воды. Как показано на рис.2.1, вектор его скорости
(относительно земли) имеет горизонтальную компоненту
v
s
и
вертикальную составляющую
v
R
. Следовательно, угол α направления
движения пловца дается выражением:
S
R
v
v
=
α
tan
.
Поскольку tan
α = dy/dx, замена (2.3) дает дифференциальное
уравнение:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
0
1
a
x
v
v
dx
dy
S
(2.4)
траектории пловца
у = у(х) при пересечении реки.
Пример 2.1. Предположим, что река имеет ширину 2 км, и что
скорость воды в середине реки равна
v
0
= 15 км/час. Если скорость пловца
равна
v
s
= 5 км/час, то уравнение (2.4) принимает вид:
y
′
= 3(1 – x
2
) = 3 – 3x
2
.
Интегрирование дает:
()
(
)
Cxxdxxxy +−=−=
∫
32
333
Рис. 2.1. Задача пловца.
x
y
v
s
v
R
(a , 0)
(–a , 0)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
