Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

45
6.3 Модели ограниченного роста популяции и логистическое
уравнение
Однако по мере увеличения численности населения коэффициент
рождаемости уменьшается. Точно так же коэффициент рождаемости
уменьшается и в популяции мух в закрытом контейнере. Причины могут
быть самыми разными – от возрастания роли науки, образования или
усложнения культуры до ограниченности поставок продовольствия.
Предположим, например, что коэффициент рождаемости
β
– линейная
убывающая функция, зависящая от численности населения
Р, так что
β
=
β
0
–
β
1
P, где
β
0
и
β
1
– положительные константы. Если показатель
смертности
δ
=
δ
0
остается постоянным, то уравнение (6.3) принимает вид:
()
01 0
;
dP
P
P
dt
ββ δ
=−−
Иными словами
2
,
dP
aP bP
dt
=−
(6.4)
где а =
β
0
–
δ
0
и b =
β
1
.
Если коэффициенты а и b оба положительны, то уравнение (6.4)
называют логистическим уравнением. Ради удобства исследования
зависимости численности населения P(t) от значений параметров в
уравнении, полезно переписать логистическое уравнение в виде:
()
,
dP
kP M P
dt
=−
где k = b и M = a/b – константы.
Пример 6.3. Исследуем изменение численности населения, которая
удовлетворяет логистическому уравнению:
dP/dt = 0.0004P(150 – P) = 0.06P – 0.0004P
2
.
Решение. Чтобы решить это дифференциальное уравнение,
разделяем переменные и интегрируем. Получаем:
()
0.0004
150
dP
dt
PP
=
−
∫∫
⇒
11 1
0.0004
150 150
dP dt
PP
⎛⎞
+=
⎜⎟
−
⎝⎠
∫∫
⇒
ln ln 150 0.06PPtC−−=+⇒
0.06 0.06
.
150
Ct t
P
ee Be
P
=± =
−
(где B = ±e
C
)
Если подставим t = 0 и Р = Р
0
≠ 150 в это последнее уравнение, то
найдем В=Р
0
/(150 – Р
0
). Следовательно,
0.06
0
0
.
150 150
t
Pe
P
PP
=
−−
Наконец, это уравнение просто решить относительно численности
населения:
()
()
0
0.06
00
150
150
t
P
Pt
PPe
−
=
+−

Страницы