Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

44
Тогда количество рождений и случаев смерти, которые происходят
в течение временного интервала [
t, t + Δt], выражаются (приблизительно)
так:
рождений –
β(t)⋅P(t)⋅Δt, случаев смерти – δ(t)⋅P(t)⋅Δt.
Следовательно, изменение численности населении
ΔP в течение
временного интервала [
t, t + Δt] длиной Δt равно:
ΔP={количество рождений}–{количество случаев смерти}≈β(t)⋅P(t)⋅Δt –
δ(t)⋅P(t)⋅Δt,
так что:
() () ()
.
P
ttPt
t
βδ
Δ
≈−
⎡⎤
⎣⎦
Δ
Ошибка в этой аппроксимации должна приближаться к нулю при
Δt→0, так что в результате предельного перехода мы получаем
дифференциальное уравнение:
()
dP
P
dt
β
δ
=−
, (6.3)
в котором для краткости пишем
β
=
β
(t),
δ
=
δ
(t), P = P(t). Уравнение (6.3) –
общее уравнение численности населения. Если
β
и
δ
являются
постоянными, уравнение (6.3) приводит к уравнению естественного роста
с
k =
β
–
δ
. Но не исключено, что
β
и
δ
являются переменными функциями
времени
t. Количество рождений и показатель смертности не всегда
известны заранее. Они могут зависеть от неизвестной функции
P(t).
Пример 6.2. Предположим, что популяция аллигаторов
первоначально насчитывает 100 особей и что ее показатель смертности
δ
=
0 (так что ни один аллигатор никогда не умирает). Пусть коэффициент
рождаемости
β
= 0.0005Р. Таким образом, популяция увеличивается,
причем уравнение (6.3) приводит к задаче Коши (задаче с начальными
условиями):
() ()
2
0.0005 , 0 100
dP
PP
dt
==
(
t измеряется в годах). Тогда после разделения переменных получаем:
()
2
11
0.0005 ; =0.0005 .dP dt t C
PP
=−+
∫∫
Замена
t = 0, Р = 100 дает С = –1/100, а затем мы легко peшаем
полученное уравнение и находим:
P(t) = 2000/(20 – t).
Пусть, например,
Р(10) = 2000/10= 200, так что через 10 лет
количество аллигаторов в популяции удвоилось. Но поскольку
P → ∞ при
t → 20, то реальный "демографический" взрыв происходит через 20 лет.

Страницы