Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

43
которое планета может обеспечить адекватными запасами
продовольствия.)
Решение
а) Мы измеряем численность мирового населения
P(t) в миллиардах, а
время – в годах. Мы полагаем
t = 0 для середины 2008 года, так что P
0
=
6.7. Поскольку
Р увеличивается на (21-18)⋅60⋅60⋅24 = 259200, или на
0.0002592 миллиарда человек в день в момент времени
t=0. Это значит, что
Р'(0) = (0.0002592) (365.25) ≈ 0.09467
миллиардов в год. Из уравнения естественного роста
Р' = kP при t = 0
получаем:
(
)
()
0
0.09467
0.01413
06.7
P
k
P
′
=≈ ≈ .
Таким образом, численность мирового населения ежегодно
возрастает приблизительно на 1.41% (по крайней мере, таким был прирост
в 2008 году). Это значение
k дает функцию роста мирового населения:
P(t) = 6.7е
0.01413t
(б) При t = 51 мы получаем предсказание численности мирового населения
Р(51) = 6.7e
(0.01413)(51)
= 6.7e
0.72063
≈ 13.77 (миллиарда)
в середине 2050 года (так что население после 2008 года почти удвоится за
срок, чуть больше сорока лет).
(c) Численность мирового населения должна достигнуть 60 миллиардов,
когда
60 = 6.7е
0.01413t
; т. е. когда t = (1/0.01413)⋅ln(60/6.7) ≈ 155
т. е. в 2163 году.
В рассмотренной модели показатели рождаемости
β
и смертности
δ
были постоянными. Сейчас рассмотрим более общую модель роста
населения, которая учитывает изменение показателей рождаемости и
смертности, которые теперь уже не обязательно будут константами. Как и
прежде, однако, наша функция численности населения
P(t) будет
непрерывной аппроксимацией фактической численности населения,
которая, конечно, изменяется не непрерывно, а скачками, так как ее
приращения являются целыми числами.
Предположим, что численность населения изменяется только в
результате рождений и случаев смерти, а иммиграцию и эмиграцию
учитывать не будем. Общепринято оценивать прирост или уменьшение
населения с помощью функций – коэффициента рождаемости
и показателя
смертности, определенных следующим образом:
β(t) – число рождений на единицу населения на единицу времени в
момент времени
t;
δ
(t) – число случаев смерти на единицу населения на единицу времени в
момент времени
t.

Страницы