Составители:
41
6.2 Уравнение естественного роста
Дифференциальное уравнение вида dx/dt = kх при x(t) > 0 и
постоянном (отрицательном или положительном)
k легко решается путем
разделения переменных и последующим интегрированием:
1
dx kdx
x
=
∫∫
⇒ ln x = kt + C.
Затем мы решаем его относительно х:
e
ln x
= e
kt + C
; ⇒ x = x(t) = e
C
e
kt
= Ae
kt
.
где
А = е
С
– константа.
А = х(0) = х
0
, так что частное решение уравнения (6.1) с начальным
условием
х(0)=х
0
– это:
x(t) = х
0
e
kt
.
Решение уравнения содержит показательную функцию (с
основанием, равным основанию натуральных логарифмов), а само
дифференциальное уравнение:
dx
kx
dt
=
часто называют уравнением экспоненциального роста, или уравнением
естественного роста. На рис. 6.1 и рис.6.2 показаны типичные графики
x(t)
в для
k > 0 и k < 0.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
2
3
4
5
6
7
8
x(t)=x0*e
k*t
t
x(t)
Рис. 6.1. Естественный рост (k>0)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
