Составители:
39
6 Естественный рост и распад
6.1 Основные модели
Дифференциальное уравнение:
dx
kx
dt
=
(k – константа) (6.1)
служит математической моделью для невероятно широкого диапазона
естественных явлений – всех тех, в которых скорость изменения некоторой
величины пропорциональна текущему значению. Рассмотрим некоторые
примеры.
Прирост популяции [7]. Предположим, что
P(t) – численность
популяции (людей, насекомых или бактерий), у которой постоянны
показатели рождаемости и смертности
β
и δ (количество рождений и
случаев смерти на определенное количество особей в единицу времени).
Тогда в течение короткого временного интервала
Δt происходит
приблизительно
βP(t)Δt рождений и δP(t)Δt случаев смерти, так что P(t)
изменяется приблизительно на:
ΔP(t) ≈ (β – δ)P(t)Δt
и потому:
0
lim
t
dP P
kP
dt t
Δ→
Δ
=
=
Δ
, (6.2)
где
k =
β
– δ.
Сложные проценты [8]. Пусть
A(t) – сумма (в рублях) на
сберегательном счету в момент времени
t (в годах). Кроме того, пусть
сложные проценты начисляются непрерывно с ежегодной процентной
ставкой
r. (Обратите внимание, что 10%-ной ежегодной ставке
соответствует значение
r = 0.10) Непрерывное начисление сложных
процентов означает, что в течение короткого временного интервала
Δt на
счет добавляется приблизительно
ΔA = rA(t)Δt, так что:
0
lim
t
dA A
rA
dt t
Δ→
Δ
=
=
Δ
Радиоактивный распад. Пусть образец некоторого вещества
содержит
N(t) атомов некоторого радиоактивного изотопа в момент
времени
t. Известно, что некоторая часть радиоактивных атомов спонтанно
распадется (превращаясь в атомы другого элемента или в другой изотоп
того же самого элемента) в течение каждой единицы времени.
Следовательно, образец ведет себя точно так, как население с постоянным
показателем смертности и нулевым приростом (атомы не рождаются).
Чтобы написать уравнение модели для
N(t), мы используем уравнение
(6.2), в котором
N займет место Р, а k > 0 подставим вместо δ и положим β
= 0. Таким образом, мы получим дифференциальное уравнение:
dN
kN
dt
=
−
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
