Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

48
6.4 Дополнительные приложения логистического уравнения
Теперь мы опишем некоторые ситуации, в которых логистическое
уравнение является удовлетворительной математической моделью.
6.4.1 Ограниченные ресурсы среды.
Некоторая среда может поддерживать популяцию численностью М
особей. Тогда разумно ожидать, что прирост
β
–
δ
(объединенный по-
казатель рождаемости и смертности) пропорционален M – P, потому что
мы можем рассматривать M–P как потенциал для дальнейшего роста.
Тогда
β
–
δ
= k(M – P), так что
() ( )
dP
PkPMP
dt
βδ
=− = −.
Классический пример среды с ограниченными ресурсами –
популяция плодовой мушки в закрытом контейнере.
6.4.2. Конкуренция. Коэффициент рождаемости
β
является
константой, а показатель смертности
δ
пропорционален Р, так что
δ
= αР,
то
()()
.
dP
PP kPM P
dt
βα
=− = −
Это может быть разумной рабочей гипотезой при изучении
каннибалистической популяции, в которой все смертные случаи являются
следствиями случайных столк-новений между особями. Конечно, обычно
конкуренция между особями не настолько смертельна, а ее эффекты
обычно не носят столь драматичного характера.
6.4.3 Пропорциональность произведению.
Пусть P(t) обозначает
количество особей в популяции с постоянной численностью М, которые
инфицированы некоторой неизлечимой инфекционной болезнью. Болезнь
распространяется случайно. Тогда P'(t) пропорционально произведению
числа Р заболевших особей и числа здоровых особей M – P, поэтому dP/dt
= kР(M – P). Снова мы обнаруживаем, что математическая модель
включает логистическое
уравнение. Математическое описание рас-
пространения слухов среди населения численностью М индивидуумов
идентично.
Пример 6.4.
Предположим, что в момент времени t = 0 в городе с
населением М=100 тысяч человек некоторый слух услышали 10 тысяч
человек. Через 1 неделю число P(t) тех, кто его услышал, увеличилось и
стало равным Р(1) = 20 тысячам. Предполагая, что P(t) удовлетворяет
логистическому уравнению, вычислим, когда слух услышит 80%
населения города.
Решение. Сначала найдем решение уравнения

Страницы