Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

49
()
,
dP
kP M P
dt
=−
P(0)=P
0
.
Получаем
()
()
0
00
.
kMt
MP
Pt
PMPe
−
=
+−
В системе символьных вычислений MAPLE текст поиска решения
следующий:
>
my_diff_yravn2:=diff(P(t),t)=k*P(t)*(M-P(t));
:= my_diff_yravn2 =
d
d
t
()P tk()P t () − M ()P t
>
ics:=P(0)=P[0];
:= ics
= ()P0 P
0
>
v12:=dsolve({my_diff_yravn2,ics});
:= v12 = ()P t
P
0
M
+ − P
0
e
()−kMt
M e
()−kMt
P
0
Подставляя Р
0
= 10 и М = 100 (тысяч) в логистическое уравнение,
получаем:
P(t)=100/(1+9e
-100kt
).
Далее имеем:
P(1)=100/(1+9e
-100k
)=20.
Это уравнение легко решается относительно e
-100k
:
e
-100k
= 4/9 ⇒ k = 0.01⋅ln(9/4) ≈ 0.008109.
При P(t)=80 имеем:
80=100/(1+9e
-100kt
).
Это уравнение мы решаем относительно t:
e
-100kt
= 1/36.
Из этого следует, что 80% населения услышали слух тогда, когда
t = (ln36)/(100k) = (ln36)/(ln 9/4) ≈ 4/42,
т.е. приблизительно через 4 недели и 3 дня.

Страницы