Составители:
50
6.5 Судный День и исчезновение популяции
Рассмотрим популяцию численностью P(t) бесхитростных
животных, в которой особи женского пола для репродуктивных целей
полагаются исключительно на случайные встречи с особями мужского
пола. Разумно ожидать, что вероятность таких встреч пропорциональна
произведению числа Р/2 особей мужского пола и числа особей женского
пола Р/2, следовательно, пропорциональна Р
2
. Мы поэтому предполагаем,
что рождения происходят со скоростью kР
2
(в единицу времени, причем k
– константа). Коэффициент рождаемости (количество рождений /время/
численность популяции) тогда равен β = kP. Если показатель смертности δ
является константой, то общее уравнение роста популяции (1) принимает
вид дифференциального уравнения
()
2
dP
kP P kP P M
dt
δ
=−= −
(6.5)
(где М = δ/k > 0), которое рассматривается как математическая модель
роста численности популяции.
Обратите внимание, что правая часть в уравнении (6.5) имеет знак,
противоположный знаку правой части логистического уравнения (6.4). Мы
увидим, что постоянная М теперь представляет собой пороговое значение
численности популяции, так как поведение численности популяции в
будущем критически зависит от того
, является ли начальное значение
численности популяции Р
0
меньшим или большим, чем М.
Пример 6.5. Рассмотрим популяцию животных численностью P(t),
которая моделируется уравнением:
()
2
0.0004 0.06 0.0004 150 .
dP
PP PP
dt
=−= − (6.6)
Мы хотим найти P(t) если а) Р(0) = 200; b) Р(0) = 100.
Решение. Чтобы решить уравнение (6.6), мы отделяем переменные и
интегрируем. Получаем:
()
0.0004
150
dP
dt
PP
=
−
∫∫
⇒
11 1
0.0004
150 150
dP dt
PP
⎛⎞
−=
⎜⎟
−
⎝⎠
∫∫
⇒
ln ln 150 0.06PP tC−−=− +
⇒
0.06 0.06
.
150
Ct t
P
ee Be
P
−−
=± =
−
(где B= ±e
C
)
a)
Если мы подставим t = 0 и Р = 200 в последнее уравнение, то
найдем В = 4. Следовательно,
0.06
4
150
t
P
e
P
−
=
−
⇒
(
)
0.06 0.06 0.06
4 150 4 600
ttt
Pe P e P e
−−−
=−=−⇒
0.06
0.06
600
41
t
t
e
P
e
−
−
=
−
. (6.7)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
