Составители:
52
6.6 Сбор урожая в логистической популяции
Автономное дифференциальное уравнение:
2
dx
ax bx h
dt
=
−−
(6.9)
где а, b и h положительны) можно применить для описания логистической
популяции со сбором урожая. Например, можно рассматривать популяцию
рыб в озере, из которого ежегодно вылавливают h рыб.
Пример 6.6. Давайте перепишем уравнение (6.9) в форме:
()
dx
kx M x h
dt
=
−−
, (6.10)
в котором граничная численность популяции равна М в случае h = 0, т.е. в
случае отсутствия сбора урожая. Принимая теперь, что h > 0, мы можем
решить квадратное уравнение –kх
2
+ kМх – h = 0 и найти следующие две
точки равновесия:
()
(
)
2
2
4
1
,4/
22
kM kM hk
H
NMMhk
k
±−
==±−
.
Принимая предположение о том, что скорость сбора урожая h
является достаточно малой, а именно, что 4h < kМ
2
, мы получим, что оба
корня H и N вещественны, причем 0 < Н < N < М. Тогда мы можем
переписать уравнение (6.10) в форме:
()()
dx
kN x x H
dt
=−−
.
Однако количество точек равновесия уравнения может резко
измениться при изменении значения параметра.
Пример 6.7. Для конкретного приложения наших заключений об
устойчивости в примере 6.6 предположим, что k=1 и М=4 для численности
x(t) логистической популяции рыб в озере, причем численность измеряется
в сотнях, а время t в годах. Без вылова рыбы вообще, озеро в конечном
счете содержало бы почти 400 рыб независимо от начальной численности
популяции.
Теперь предположим, что h=3, так что ежегодно
вылавливаются 300 рыб (с постоянной нормой в течение года). Уравнение
(6.10) тогда примет вид dx/dt = х(4 – x) – 3, и квадратное уравнение
–x
2
+ 4х – 3 = (3 – х)(х – 1) = 0
имеет решения Н = 1 и N = 3. Таким образом, пороговая численность
популяции – 100 рыб, и (новая) граничная численность популяции равна
300 рыбам. Короче говоря, если в озере первоначально было больше 100
особей рыбы, то при увеличении t численность популяции рыб прибли-
зится к граничному значению 300 рыб. Но если в озере первоначально
было
меньше 100 особей рыбы, то вся рыба в озере будет выловлена,
и рыба исчезнет полностью за конечный период времени.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
