Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

80
13 Свободные затухающие колебания
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в случае
отсутствия внешних сил принимает вид: mх" + cx′ + kх = 0 или
х" + 2px′ + ω
0
2
х = 0, (13.1)
где ω
0
= (k/m)
1/2
– круговая частота незатухающих колебаний и
p =c/(2m) > 0.
Корни характеристического уравнения r
2
+ 2pr + ω
0
2
= 0
дифференциального уравнения (13.1):
r
1,2
= –p ± (p
2
– ω
0
2
)
1/2
. (13.2)
Вещественные они или комплексные – это зависит от знака
подкоренного выражения
p
2
– ω
0
2
= c
2
/(4m
2
) – k/m = (c
2
– 4km)/( 4m
2
)
Поэтому критическое затухание c
cr
вычисляется по формуле c
cr
=
(4km)
1/2
. Рассмотрим отдельно три случая: с > c
cr
, с = c
cr
, с < c
cr
.
13.1 Случай сверхзатухания
Сверхзатухания или сильноео демпфирование: с > c
cr
, (с
2
> 4km).
Поскольку с в этом случае относительно велико, мы имеем дело с большим
сопротивлением при относительно слабой пружине или малой массе. Тогда
уравнение (13.2) имеет два различных действительных корня r
1
и r
2
,
причем они оба отрицательные. Уравнение движения имеет:
x(t) = c
1
exp(r
1
t) + c
2
exp(r
2
t).
Ясно, что x(t) → 0 при t → ∞. Поэтому тело будет двигаться к
своему положению равновесия без каких-либо колебаний. На рис 13.1
изображены графики некоторых уравнений движения в этом случае.
Выбрав фиксированное положительное значение x
0
, построим
зависимость уравнения движения от начальной скорости v
0
. Во всех
случаях колебания были демпфированы (поглощены демпфером).
Текст на MATLAB
%Случай сверхзатухания
clc
clear
t=0:0.005:5;
C1=-4; C2=5;
r1=[-4, -1, -2, -0.8];
r2=[-6, -5, -3, -0.9];
for i=1:length(r1)
x=C1*exp(r1(i)*t)+C2*exp(r2(i)*t);
plot(t,x);
hold on

Страницы