Составители:
97
14.3 Резонанс
Из уравнения (14.6) видно, что если собственная частота ω
0
приблизительно равна внешней частоте ω, то амплитуда А решения х
р
велика. Иногда полезно записать уравнение (14.5) в виде:
()
00 0
2
2
0
/
1/
F
Fk pF
A
km k
ω
ωω
== =±
−
−
. (14.11)
Здесь F
0
/k называется статическим смещением пружины жесткости
k под действием постоянной силы F
0
, а p – коэффициентом усилении. По
определению он равен:
()
2
0
1
1/
p
ωω
=
−
(14.12)
Очевидно, что p → ∞ при ω → ω
0
. Это явление резонанса –
неограниченный рост (при ω → ω
0
) амплитуды колебаний системны (при
отсутствии сил сопротивления) с собственной частотой ω
0
) под действием
внешней силы с частотой ω ≈ ω
0
.
Мы предполагали, что ω ≠ ω
0
. Какой же катастрофы следует
ожидать, если ω и ω
0
точно совпадают? Тогда уравнение (14.4), после
деления всех слагаемых на m примет вид:
2
0
00
cos .
F
x
xt
m
ω
ω
′′
+=
(14.13)
Поскольку cos(
ω
0
t) является слагаемым общего решения
соответствующего однородного уравнения, в соответствии с методом
неопределенных коэффициентов необходимо искать частное решение в
виде:
x
p
(t) = t(Acos(ω
0
t) + В sin(ω
0
t)).
Подставим это выражение в уравнение (14.13) и получим, что А = 0
и В = F
0
/(2mω
0
). Таким образом, частным решением является функция:
x
p
(t) = F
0
t sin(ω
0
t)/(2mω
0
). (14.14)
Из графика x
p
(t), изображенного на рис. 14.4, где принято m=1,
F
0
=100 и ω
0
=50, хорошо видно, как (теоретически) неограниченно должна
возрастать амплитуда колебаний в случае чистого резонанса, ω=ω
0
. Можно
рассматривать это явление как усиление собственных колебаний системы
под действием внешних колебаний той же частоты.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
