Составители:
95
14.2 Биения
Если мы потребуем, чтобы решение (14.7) удовлетворяло
начальным условиям х(0)=х
′
(0)=0, то получим:
c
1
= F
0
/(m( ω
0
2
– ω
2
)) и c
2
= 0.
Поэтому частным решением является функция:
()
()
()
0
0
22
0
2
cos cos .
F
x
ttt
m
ωω
ωω
=−
−
(14.9)
Используя тригонометрическое тождество 2sinA sinB =cos(A – B) –
cos(A + B) при A = (ω
0
+ ω)t/2 и B = (ω
0
– ω)t/2, уравнение (14.9) можно
переписать в виде:
()
()
(
)
(
)
00
0
22
0
2
sin sin .
22
tt
F
xt
m
ωω ωω
ωω
−+
⎛⎞⎛⎞
=
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
(14.10)
Предположим теперь, что ω
0
≈ω, поэтому ω
0
+ ω велико по
сравнению с ω
0
– ω. Тогда sin((ω
0
+ω)t/2) будет быстро изменяющейся
функцией, тогда как sin((ω
0
–ω)t/2) будет медленно изменяющейся
функцией. Значит, в этом случае уравнение (14.10) можно рассматривать
как частые колебания с круговой (циклической) частотой (ω
0
+ ω)/2,
x(t) = A(t)sin((ω
0
+ ω)t/2),
но с медленно изменяющейся амплитудой:
()
()
(
)
0
0
22
0
2
sin .
2
t
F
At
m
ωω
ωω
−⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
Пример 14.2. При m = 0.1, F
0
= 50,
ω
0
= 55 и
ω
= 45 из уравнения
(14.10) получим:
x(t) = sin(5t)⋅sin(50t).
На рис. 14.3 изображены соответствующие колебания с частотой
(ω
0
+ ω)/2 = 50, которые "модулируются" амплитудной функцией A(t) =
sin5t с частотой (ω
0
– ω)/2=5.
Частые колебания со сравнительно медленным периодическим
изменением амплитуды демонстрируют явление биения. Например, если
два недостаточно точно отрегулированных духовых музыкальных
инструмента (расстроенных одни относительно другого) одновременно
играют одну и ту же ноту “до”, один с частотой ω
0
/(2π) = 258 Гц, а другой
– с частотой ω/(2π) = 254 Гц, то будут, слышны биения (т.е. изменение
амплитуды звука) с частотой:
()
0
/2
258 254
2
22
ωω
π
−
−
=
= (Гц).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
