Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

93
14.1 Незатухающие вынужденные колебания
Для изучения незатухающих колебаний под действием внешней
силы F(t) = F
0
cos(ωt) положим в уравнении (14.1) с = 0. Рассмотрим
полученное неоднородное дифференциальное уравнение:
mx″ + kx = F
0
cosωt. (14.4)
Общим решением соответствующего однородного уравнения
является функция:
x
c
= c
1
cosω
0
t + c
2
sinω
0
t.
Здесь ω
0
= (k/m)
1/2
обозначает (круговую, или циклическую)
собственную частоту колебаний системы, состоящей из тела,
закрепленного на пружине.
Предположим сначала, что внешняя и собственная частоты не
равны: ω ≠ ω
0
. Чтобы найти частное решение, подставим х
р
=Acosωt в
уравнение (14.4). (Мы не включили слагаемое с синусом в х
р
, так как в
левую часть уравнение не входит х'.) В результате получим:
–mω
2
Acosωt + kAcosωt = F
0
cosωt,
откуда
A = F
0
/(k – mω
2
) = F
0
/m/( ω
0
2
– ω
2
), (14.5)
и поэтому
x
p
(t) = cosωt
⋅
F
0
/m/( ω
0
2
– ω
2
) (14.6)
Следовательно, общее решение х = х
с
+ х
р
имеет вид:
x(t) = c
1
cosω
0
t + c
2
sinω
0
t + cosωt
⋅
F
0
/m/( ω
0
2
– ω
2
) (14.7)
где постоянные c
1
и c
2
определяются начальными условиями х(0) и х
′
(0).
Уравнение (14.7) можно переписать в виде:
x(t) = Сcos(ω
0
t – α) + cosωt
⋅
F
0
/m/( ω
0
2
– ω
2
). (14.8)
Поэтому результирующее движение является суперпозицией двух
колебаний: одного с собственной частотой ω
0
, а другого – с частотой ω
внешней силы.
Пример 14.1. Предположим, что m = 1, k = 9, F
0
= 80 и ω = 5. Тогда
дифференциальное уравнение (14.4) примет вид:
x″ + 9x = 80⋅cos(5t).
Решение. В данном случае собственная частота ω
0
= 3 и частота
внешней силы ω=5 не совпадают, как и в случае, рассмотренном выше.
Сначала подставим х
р
= Acos5t в дифференциальное уравнение. Получим –
25A + 9A =80, откуда A = –5. Следовательно, частное решение:
х
р
= –5cos5t.
Общим решением соответствующего однородного уравнения
является функция х
с
= c
1
cos3t + c
2
sin3t, поэтому общее решение данного
неоднородного уравнения можно записать в виде:
x(t) = c
1
cos3t + c
2
sin3t – 5cos5t,
его производная

Страницы