Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

94
Неравенство (2.2.119) определяет так называемое замкнутое полупространство,
границей которого является гиперплоскость (2.2.118).
Множество точек в n-мерном пространстве называется выпуклым, если оно
содержит любую выпуклую комбинацию X= (1 -
λ
) Х
1
+
λ
Х
2
, 0≤
λ
≤1 любой пары точек Х
1
и
Х
2
из этого множества. Таким образом, выпуклое множество содержит отрезок,
соединяющий любые две точки из этого множества.
Замкнутое n-мерное полупространство, также как и обычное трехмерное
полупространство, является выпуклым. Действительно, пусть Х
1
и Х
2
— две произвольные
точки полупространства, определяемого неравенством (2.2.119), тогда
AX
1
≤b, AX
2
≤b.
Умножим первое неравенство на неотрицательное число 1 -
λ
и второе на
λ
(0≤
λ
≤1)
и затем полученные неравенства почленно сложим, в результате получим
[
]
.)1(
21
bXXA ≤+−
λλ
Это означает, что выпуклая комбинация Х=(1 -
λ
)Х
1
+
λ
Х
2
, 0≤
λ
≤ 1 принадлежит тому
же полупространству. Это и доказывает его выпуклость.
Пусть дана система m линейных неравенств с п неизвестными:
≤+++
≤+++
≤+++
,...
...............................................
;...
;...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(2.2.120)
которую можно записать кратко в виде
A
i
X≤b
i
, i=l, 2,..., т, (2.2.121)
где А
i
= (а
i1
, a
i2
, . ..,a
in
) — строки матрицы системы
;
nm
ij
aA
×
=
Х=[х
1
, х
2
, . . ., х
n
] —
переменный вектор.
Каждое из этих неравенств (2.2.121) определяет некоторое замкнутое
полупространство пространства E
n
, а все неравенства совместно — некоторую область в
n-мерном пространстве. Точно так же, как в предыдущем параграфе, для трехмерного
пространства можно доказать, что эта область является выпуклой. Она, по аналогии с
трехмерным пространством, называется выпуклым многогранником, если для всех ее точек
выполняется неравенство Х <С, где С — положительное число.
Если не существует положительного числа С, при котором бы выполнялось
неравенство Х <С, для всех точек области, то область называется выпуклой
многогранной областью. Если система (2.2.120) несовместна, то говорят, что определяе-
мая ею область пуста.
Геометрический смысл опорных решений
По аналогии с определением вершины выпуклого многогранника (многогранной
области) в трехмерном пространстве определяется понятие вершины в n-мерном
пространстве. Вершину выпуклого многогранника (многогранной области) в n-мерном
пространстве можно охарактеризовать как точку многогранника, которая не является
внутренней точкой никакого отрезка, целиком принадлежащего данному многограннику.
Примем следующее определение вершины: точка X, принадлежащая выпуклому
многограннику (многогранной области), называется его вершиной, если в этой области не
существует двух различных точек Х
1
и Х
2
, для которых точка X являлась бы выпуклой
комбинацией Х=(1-
λ
)Х
1
+
λ
Х
2
при 0<
λ
<1.
Область, определяемая системой линейных уравнений

Страницы