Составители:
Рубрика:
93
Расстояние
YX
−
между двумя точками Х = [х
1
, х
2
,...,х
n
] и Y=[y
1
, y
2
,…,y
п
] определяется
следующим образом:
.)(0
2/1
1
2
−=−
∑
=
n
j
jj
yxX
(2.2.112)
Это определение расстояния является обобщением определения расстояния в двух и
трехмерном пространствах.
Длиной, или абсолютной величиной Х, вектора Х=(х
1
, х
2
, . . .,х
п
) называется расстояние
от начала координат, определяемого нулевым вектором 0=(0, 0, .... 0), до точки X:
.0
2/1
1
2
=−=
∑
=
n
j
j
xXX
(2.2.113)
Совокупность всех n-мерных векторов Х = [х
1
, х
2
,...,х
n
] вместе с расстоянием,
определенным выражением (2.2.112), называется п-мерным евклидовым пространством и
обозначается символом Е
п
.
В обычном трехмерном пространстве прямая может быть задана с помощью
векторного уравнения
Х=А +
λ
В, (2.2.114)
где А и В — радиусы-векторы, разность которых А — В определяет направление прямой.
Точка X пробегает всю прямую при изменении параметра
λ
от -∞ до +∞.
По аналогии с этим под «прямой» в n-мерном пространстве понимается
совокупность точек Х = [х
1
, х
2
,...,х
n
], удовлетворяющих векторному уравнению вида
(2.2.114), где А и В — заданные n-мерные векторы.
Векторное уравнение (2.2.114) можно преобразовать следующим образом:
Х=(А-
λ
А) + (
λ
А +
λ
В) = (1-
λ
)А +
λ
(А+В). (2.2.115)
Точку А обозначим через Х
1
, а точку А + В через Х
2
. Тогда уравнение прямой
(2.2.115) будет иметь следующий вид:
X=(1-
λ
)X
l
+
λ
X
2
. (2.2.116)
Если ограничить пределы изменения параметра неравенствами 0≤
λ
≤1, то
множество точек (2.2.116) называется отрезком, соединяющим точки Х
1
и Х
2
. Точка X
отрезка X
1
X
2
, определяемая равенством (2.2.116) при 0≤
λ
≤1, так же как и в трехмерном
случае, называется выпуклой комбинацией точек Х
1
и Х
2
. Точки Х
1
и Х
2
, отвечающие
значениям
λ
= 0 и
λ
= 1, называются концами отрезка. Точки X, отвечающие значению
параметра, удовлетворяющему строгим неравенствам 0≤
λ
≤1, называются внутренними
точками отрезка.
Обобщением понятия плоскости в обычном пространстве, задаваемой уравнением
первой степени
,
332211
bxaxaxa =++
является так называемая гиперплоскость в n-мерном пространстве.
Гиперплоскость в n-мерном пространстве определяется как множество
Х = [х
1
,
х
2
,...,х
n
]
, координаты которых удовлетворяют уравнению первой степени
a
1
x
2
+ a
2
x
2
+ ... +a
n
x
n
= b. (2.2.117)
Вектор коэффициентов А=(а
1
, а
2
,..., а
п
) уравнения гиперплоскости (2.2.117)
называется нормалью к гиперплоскости.
Уравнение гиперплоскости (2.2.117) можно записать в виде
АХ=b. (2.2.118)
Гиперплоскость (2.2.118) разбивает все пространство Е
п
на два полупространства, и
для одного из них
АХ≤b. (2.2.119)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- …
- следующая ›
- последняя »
