Составители:
Рубрика:
91
этой области оптимального решения. Так как ограничительная область задается системой
линейных уравнений и неравенств, то прежде всего следует обратиться к разделу высшей
алгебры, именуемому линейной алгеброй. Основам линейной алгебры, используемым для
решения задач линейного программирования, посвящена первая часть главы. Заметим, что
аппарат линейной алгебры применяется в экономико-математических исследованиях не
только в связи с задачами линейного программирования. Этот аппарат, например,
применяется в балансовых расчетах и при обработке статистических данных по методу
наименьших квадратов.
Выше подробно изложен геометрический смысл задачи линейного
программирования с двумя переменными. Здесь мы рассмотрим геометрическое
истолкование задачи линейного программирования с тремя и более переменными. Случай
трех переменных является не менее наглядным, чем случай двух переменных. Случай же
четырех и более переменных может представляться геометрически лишь абстрактно в n-
мерном пространстве, где по аналогии с обычным трехмерным пространством
рассматриваются свойства некоторых геометрических образов. Знакомство с
геометрической стороной линейного программирования является полезным, так как это
поз
воляет наглядно представить истинный смысл задачи, а также понять причины возможных
осложнений при решении задачи.
Геометрический смысл системы линейных неравенств, с тремя переменными
Пусть дана система линейных неравенств:
≤++
≤++
≤++
.
........................................
;
;
332211
2323222121
1313212111
mmmm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(2.2.103)
с тремя независимыми переменными х
1
, х
2
, х
3
.
Будем представлять переменные х
1
, х
2
, х
3
как координаты точки Р в
прямоугольной системе координат в пространстве. Спрашивается, какую область в
пространстве образует совокупность точек Р (х
1
, х
2
, х
3
), координаты которых
удовлетворяют всем неравенствам (2.2.103).
Сначала решим этот вопрос для одного неравенства
.
332211
bxaxaxa ≤++ (2.2.104)
Рассмотрим плоскость, определяемую уравнением
.
332211
bxaxaxa =++ (2.2.105)
Эта плоскость разбивает все пространство на два полупространства, причем
координаты точек одного из них и координаты точек граничной плоскости (2.2.105)
удовлетворяют неравенству (2.2.104).
Система неравенств (2.2.103) определяет общую часть (пересечение) т
полупространств, каждое из которых определяется одним из неравенств системы.
Область (тело) называется выпуклой (выпуклым), если все точки отрезка,
соединяющего любые две точки этой области, также принадлежат этой области.
Примерами выпуклых тел могут служить куб, тетраедр, цилиндр, конус, шар и т. д.
Область (полупространство), определяемая одним неравенством (2.2.104),
очевидно, является выпуклой. Покажем, что область, определяемая системой неравенств
(2.2.103), также является выпуклой. Пусть Р
1
(
'
3
'
2
'
1
,, xxx ) и P
2
(
''
3
''
2
''
1
,, xxx ) — две
произвольные точки области М. Из аналитической геометрии в пространстве известно, что
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
