Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

92
координаты любой точки Р (х
1
, х
2
, х
3
), лежащей на отрезке P
1
P
2
, могут быть определены
через координаты концов отрезка по формулам:
,)1(
;)1(
;)1(
''
3
'
33
''
2
'
22
''
1
'
11
xxx
xxx
xxx
λλ
λλ
λλ
+−=
+−=
+−=
(2.2.106)
где параметр
λ
удовлетворяет условию 0 ≤
λ
≤1.
Координатные равенства (2.2.106) можно записать в виде одного векторного
равенства
Х=(1-
λ
)Х' +
λ
Х", 0≤
λ
≤ 1, (2.2.107)
где X', X" , X — радиусы-векторы точек Р
1
, Р
2
, Р. Каждому значению параметра
λ
в
интервале (0, 1) соответствует одна и только одна точка отрезка Р
1
Р
2
.
При изменении параметра от 0 до 1 точка Р пробегает весь отрезок Р
1
Р
2
, от точки
Р
1
до точки Р
2
. В дальнейшем радиусы-векторы
[
]
[
]
[
]
''
3
''
2
''
1
'
3
'
2
'
1321
,,'',,,',,, xxxXxxxXxxxX ===
будем рассматривать как точки пространства, координаты которых совпадают с
компонентами векторов.
Точка X, определяемая соотношением (2.2.107), называется выпуклой комбинацией
точек Х
1
и Х
2
. Систему неравенств (2.2.103) можно записать в следующем векторном виде:
,,...,2,1,
11
mibXA
i
=≤ (2.2.108)
где А
i
= (a
i1
, а
i2
, a
i3
) — строки матрицы системы неравенств (2.2.103): А=
.
3
×m
ij
a
Пусть точки Х
1
и Х
2
принадлежат области М, определяемой системой неравенств
(2.2.108), тогда
A
i
X
1
≤b
i
i= 1, 2,..., т; (2.2.109)
A
i
X
2
≤b
i
i= 1, 2,..., m. (2.2.110)
Умножая неравенства (2.2.109) и (2.2.110) соответственно на неотрицательные
числа 1 -
λ
и
λ
и затем почленно их складывая, получим
(
)
[
]
.1
21
i
i
bXXA ≤+−
λλ
или, учитывая равенство (2.2.107),
А
i
Х≤b
i
. (2.2.111)
Таким образом, точка X, являющаяся выпуклой комбинацией точек X
1
и Х
2
,
принадлежащих области М, также принадлежит области М. Отсюда следует, что область,
определяемая системой неравенств (2.2.103), является выпуклой. Если все точки области
М находятся на конечном расстоянии от начала координат, то область М представляет
собой выпуклый многогранник. Область М может быть в некоторых направлениях
неограниченной, тогда она называется выпуклой многогранной областью. Возможен
случай, когда не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы всем
неравенствам (2.2.103) (система противоречива), тогда говорят, что область М пуста.
Вершинами выпуклого многогранника или выпуклой многогранной области
называются те граничные точки, которые не могут быть внутренними точками любого
отрезка, принадлежащего к области. Вершины — это точки пересечения плоских граней
области М.
Геометрический смысл системы линейных неравенств с п переменными
Сначала приведем некоторые определения из геометрии n-мерного пространства, n-
мерный вектор Х = [х
1
, х
2
, . . ., x
n
] будем понимать как точку в n-мерном пространстве.

Страницы