ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1 Производные и дифференциалы первого порядка
Всюду далее будем рассматривать функцию f : X ⊂ R → R, когда x
0
∈ X,
x
0
— предельная точка множества X, ∆x 6= 0 — приращение переменной x,
и x
0
+ ∆x ∈ X. Будем далее использовать следующие обозначения:
• ∆f
x
0
(∆x) — приращение функции f в точке x
0
, то есть ∆f
x
0
(∆x) =
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
);
• f
0
(x
0
) или
df
dx
(x
0
) — производная функции f в точке x
0
, то есть f
0
(x
0
) =
lim
∆x→0
∆f
x
0
(∆x)
∆x
, если предел существует;
• df
x
0
(∆x) — дифференциал функции f в точке x
0
, на приращении аргу-
мента ∆x, то есть df
x
0
(∆x) = f
0
(x
0
)·∆x, если функция дифференцируема
в точке x
0
.
Определение этих понятий и теория дифференцируемых функций изложе-
ны в [3, глава 4].
Пример 1. Исследовать на дифференцируемость функции
a) f(x) = x · |x − 1| ·
√
sin x
2
, |x| <
√
π; b) f(x) =
q
1 − e
−x
2
, x ∈ R.
a). Функция f является произведением трех функций ϕ(x) = x, ψ(x) =
|x − 1|, g(x) =
√
sin x
2
, каждая из которых определена на множестве X =
(−
√
π,
√
π) и непрерывна на нем.
Функция ϕ(x) дифференцируема на множестве X, ψ(x) — на множе-
стве X \ {1}. Функция g(x) является суперпозицией функций g
1
(x) = x
2
,
g
2
(u) = sin u и g
3
(v) =
√
v, причем g(x) = (g
3
◦g
2
◦g
1
)(x). Функция g
1
(x) диф-
ференцируема на X, g
2
(u) — на R, а g
3
(v) — на R
+
. При этом g
1
: X → [0, π),
g
2
: [0, π) → [0, 1], g
3
: [0, 1] → [0, 1], g
1
(0) = 0, g
2
(0) = 0. По теореме о
дифференцируемости суперпозиции ([3, теорема 4.5]) функция g(x) диффе-
ренцируема на множестве X \ {0}, а, значит, по теореме об арифметических
операциях с дифференцируемыми функциями ([3, теорема 4.5]) функция f(x)
дифференцируема на множестве X \ {0; 1}.
Выясним, будет ли функция f дифференцируемой в точках x = 0 и x =
1, для чего воспользуемся критерием дифференцируемости ([3, демма 4.2]).
Рассмотрим отношение
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
при ∆x → 0, если x
0
= 0 и x
0
= 1.
Если x
0
= 0, то при ∆x → 0
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
= |1 −∆x| ·
q
sin (∆x)
2
→ 0.
3
