Дифференцируемость функции - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Поэтому ∃f
0
(0) = 0 и функция f дифференцируема в точке x
0
= 0.
Если x
0
= 1 и ∆x 6= 0, (1 + ∆x) ∈ (−
√
π,
√
π), то при ∆x → 0
f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)
∆x
= (1 + ∆x) ·
|∆x|
∆x
·
q
sin (1 + ∆x)
2
.
При ∆x → 0 1 + ∆x → 1,
q
sin(1 + ∆x)
2
→
√
sin 1 6= 0, а функция
|∆x|
∆x
не
имеет предела, так как lim
∆x→−0
|∆x|
∆x
= −1, lim
∆x→+0
|∆x|
∆x
= 1.
Поэтому функция f не дифференцируема в точке x
0
= 1, но
∃f
0
(1 − 0) = −
√
sin 1, ∃f
0
(1 + 0) = +
√
sin 1.
b). Областью определения функции f совпадает с R, так как 1 − e
−x
2
≥ 0,
∀x ∈ R. Функция f является суперпозицией функций f
1
(x) = 1 − e
−x
2
и
f
2
(x) =
√
x, то есть f(x) = (f
2
◦ f
1
)(x), ∀x ∈ R.
Функция f
1
(x) является разностью функций g(x) = 1 и ϕ(x) = e
−x
2
. Функ-
ция g(x) непрерывна и дифференцируема на R. Функция ϕ(x) — суперпози-
ция функций ϕ
1
(x) = −x
2
и ϕ
2
(x) = e
x
. Очевидно, что функция ϕ
1
: R →
(−∞, 0] непрерывна и дифференцируема на R, функция ϕ
2
: (−∞, 0] → (0, 1]
непрерывна и дифференцируема на (−∞, 0]. Поэтому в силу теоремы о диф-
ференцируемости суперпозиции функция ϕ(x) непрерывна и дифференциру-
ема на R. По теореме об арифметических операциях с дифференцируемы-
ми функциями функция f
1
(x) непрерывна и дифференцируема на R, причем
f
1
: R → [0, 1) и f
1
(0) = 0.
Функция f
2
(x) =
√
x, как отмечалось выше, непрерывна на множестве
[0, ∞) и теряет свойство дифференцируемости в точке x = 0. Следовательно,
в силу теоремы о дифференцируемости суперпозиции функция f = f
2
◦ f
1
дифференцируема на множестве R \ {0}. Изучим поведение функции f в
точке x
0
= 0. В ней функция f непрерывна и
f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)
∆x
=
√
1 − e
−(∆x)
2
∆x
=
v
u
u
u
t
1 − e
−(∆x)
2
(∆x)
2
, если ∆x > 0,
−
v
u
u
u
t
1 − e
−(∆x)
2
(∆x)
2
, если ∆x < 0.
Тогда f
0
(+0) = lim
∆x→+0
f(∆x) − f(0)
∆x
= 1, f
0
(−0) = lim
∆x→−0
f(∆x) − f(0)
∆x
= −1, а
потому функция f не дифференцируема в x
0
= 0.
4

Страницы