Дифференцируемость функции - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

a). Функция f(x) = x ·
√
x определена на множестве D(f) = [0, +∞),
является произведением функций y = x и y =
√
x, которые дифференциру-
емы соответственно на [0, +∞) и (0, +∞). Поэтому f дифференцируема на
интервале (0, +∞) и f
0
(x) =
√
x +
1
2
√
x
· x =
3
2
·
√
x.
Так как существует предел lim
x→+0
f
0
(x) = 0, то существует правая производ-
ная функции f в точке x = 0 и f
0
+
(0) = 0. Но x = 0 односторонняя предельная
точка множества D(f), поэтому существует f
0
(0) = 0 и функция f диффе-
ренцируема в точке x = 0. Следовательно, функция f дифференцируема на
[0, +∞) и f
0
(x) =
3
2
·
√
x.
b). По аналогии с пунктом a) функция f определена на промежутке [0, +∞),
непрерывна в точке x = 0, дифференцируема на интервале (0, +∞) и
f
0
(x) =
cos x
2
√
x
−
√
x · sin x, ∀x ∈ (0, +∞).
Так как предел lim
x→+0
f
0
(x) = +∞, то f
0
+
(0) = +∞ и функция f не дифферен-
цируема в точке x = 0.
Пример 4. Найти a и b, при которых функция
f(x) =
x
2
, если x ≤ 0,
a · x + b, если x > 0,
дифференцируема на всей числовой оси.
Свойство дифференцируемости функции является локальным, то есть за-
висит от поведения функции в некоторой окрестности рассматриваемой точ-
ки. Поэтому функция f дифференцируема в точке x = x
0
, тогда и только
тогда, когда дифференцируема в ней функция сужения f
U
x
0
(δ
0
)
, где δ
0
—
некоторое положительное число. В интервале каждая точка принадлежит
ему вместе с некоторой окрестностью. Так как при x < 0 f(x) = x
2
, то
есть f
(−∞,0)
(x) = x
2
, а функция y = x
2
дифференцируема на интервале
(−∞, 0), то f
0
(x) = 2x, ∀x ∈ (−∞, 0). Аналогично доказывается, что функция
f дифференцируема на интервале (0, +∞) и f
0
(x) = a, ∀x > 0.
Рассмотрим дифференцируемость функции f в точке x = 0. Прежде всего
выясним, при каком условии функция f непрерывна в точке x = 0. Так как
lim
x→+0
f(x) = lim
x→0
f
(0,+∞)
(x) = lim
x→0
(a · x + b) = b,
lim
x→−0
f(x) = lim
x→0
f
(−∞,0)
(x) = lim
x→0
x
2
= 0,
6

Страницы