Дифференцируемость функции - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

то предел lim
x→0
f(x) существует, если b = 0, при этом lim
x→0
f(x) = 0. Следова-
тельно, функция f непрерывна в точке x = 0, если b = 0. В этом случае
f(0) = 0 и
f(x) =
x
2
, если x ≤ 0,
a · x, если x > 0.
Далее,
f
0
(x) =
2x, если x < 0,
a, если x > 0.
Так как lim
x→−0
f
0
(x) = lim
x→−0
(2x) = 0, а lim
x→+0
f
0
(x) = a, то
f
0
(−0) = 0, f
0
(+0) = a.
В силу теоремы о связи производной и односторонних производных функции
f в двусторонней предельной точке ([3, теорема 4.2]), функция f имеет про-
изводную в точке x = 0 только в том случае, когда a = 0, при этом f
0
(0) = 0.
Итак, функция f дифференцируема в точке x = 0 тогда и только тогда, когда
a = b = 0, то есть если
f(x) =
x
2
, если x ≤ 0,
0, если x > 0.
Обычно, при отработке техники дифференцирования, не указывают об-
ласть, в которой проводится дифференцирование. Предполагается, что про-
изводная вычисляется в тех точках, в которых функция дифференцируема.
Пример 5. Найти производные следующих функций:
a) f(x) =
4x
2
− 2x + 10
√
x
, b) f(x) =
r
x +
q
2x −
√
x,
c) f(x) = x
1/x
, d) f(x) =
(sin x)
cos x
(cos x)
sin x
.
a). Так как f(x) = 4x
3/2
− 2x
1/2
+ 10x
−1/2
, то, используя формулу произ-
водной степенной функции и теорему об арифметических операциях с диф-
ференцируемыми функциями, получим, что
f
0
(x) = 4 ·
3
2
· x
1/2
− 2 ·
1
2
· x
−1/2
+ 10 ·
−
1
2
!
· x
−3/2
= 6
√
x −
1
√
x
−
5
x
√
x
.
b). Пусть ϕ(x) = 2x −
√
x, g(x) =
√
x. Тогда f(x) = g ◦ ψ(x), где ψ(x) =
x + g ◦ ϕ(x). В силу теорем 4.4, 4.5 из [3] находим, что
f
0
(x) = g
0
(ψ(x)) · ψ
0
(x) =
1
2
q
x + g ◦ ϕ(x)
· ψ
0
(x) ,
7

Страницы