Дифференцируемость функции - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Пример 7. Пусть функция f задана параметрически
f : x = 2t − t
2
, y = 3t − t
3
, t ∈ (−∞, 1).
Найти f
0
x
(−3), выписать уравнение касательной к графику функции f в точке
M
0
(−3, f(−3)).
Воспользуемся теоремой о дифференцируемости параметрически заданной
функции [3, теорема 4.7]. В рассматриваемом примере
ϕ(t) = 2t − t
2
, ψ(t) = 3t − t
3
, T = (−∞, 1).
Так как функции ϕ и ψ являются многочленами, то они дифференцируемы
на промежутке T , причем
ϕ
0
(t) = 2(1 − t) > 0, ∀t ∈ T, ψ
0
(t) = 3(1 − t
2
).
Функция ϕ возрастает на промежутке T и
X = ϕ(T ) =
lim
x→−∞
ϕ(t) , ϕ(1 − 0)
= (−∞, 1).
Поэтому параметрически заданная функция f : (−∞, 1) → R, удовлетворяю-
щая требованиям теоремы о дифференцируемости параметрически заданной
функции, дифференцируема на промежутке X = (−∞, 1), а ее производная
является параметрически заданной функцией
f
0
x
: x = 2t − t
2
y =
3(1 − t
2
)
2(1 − t)
=
3
2
(1 + t), t ∈ T.
Чтобы подсчитать f
0
x
(−3), найдем прообраз точки x = −3 при отображении
ϕ, для чего решим уравнение 2t − t
2
= −3, получим корни t = −1, t = 3. Так
как t = −1 ∈ T , а t = 3 /∈ T , то t = −1 — искомая точка. Следовательно,
f
0
x
(−3) =
3
2
(1 + t)
t=−1
= 0.
Итак, f
0
x
(−3) = 0. Так как f(−3) = ψ(−1) = −2, то искомое уравнение
касательной имеет вид y = 0 · (x − 3) − 2, то есть y = −2.
Пример 8. Пусть u и v — дифференцируемые функции. Найти дифферен-
циал функции y = arctg
u
v
.
По условию y = arctg x, где x =
u
v
, причем
u
v
— отношение дифференци-
руемых функций. Учитывая свойство инвариантности формы первого диффе-
ренциала (см. [3, раздел 4.5]), получаем, что
dy = (arctg x)
0
x=u/v
dx,
9

Страницы