Дифференцируемость функции - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

2 Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция f : X ⊂ R → R дифференцируема на множестве X.
Поэтому определена функция f
0
: X → R. Если функция f
0
дифференцируема
в точке x
0
∈ X, то говорят, что функция f дважды дифференцируема в точке
x
0
, а производную функции f
0
в точке x
0
называют второй производной (или
производной второго порядка) функции f в точке x
0
и обозначают одним из
следующих символов: f
00
(x
0
), f
(2)
(x
0
),
d
2
f
dx
2
(x
0
).
Если функция f дважды дифференцируема в каждой точке множества X,
то говорят, что функция f дважды дифференцируема на множестве X.
По индукции вводится понятие производной k-го порядка (k ≥ 2) функции
в точке и на множестве. В частности, если x
0
∈ X, то f
(k)
(x
0
) = (f
(k−1)
)
0
(x
0
).
Если функция f n раз дифференцируема на множестве X, то для любого
k ∈ N, k ≤ n, и любого x ∈ X d
k
f
x
(∆x) = d
d
k−1
f(∆x)
x
(∆x) = f
(k)
(x) · ∆x
k
— дифференциал k-го порядка функции f в точке x на приращении ∆x.
Приведем формулы производных n-го порядка (n ∈ N) основных элемен-
тарных функций:
1) (x
α
)
(n)
= α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) x
α−n
, ∀x ∈ (0, +∞), α ∈ R.
В частности, если α = n ∈ N, то (x
n
)
(n)
= n!, (x
n
)
(k)
= 0, если k > n, и
((ax + b)
α
)
(n)
= α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) a
n
(ax + b)
α−n
, ∀x > −
b
a
.
2) (a
x
)
(n)
= a
x
ln
n
a , a > 0 , a 6= 1, ∀x ∈ R. В частности,
(e
x
)
(n)
= e
x
, ∀x ∈ R; (a
cx+d
)
(n)
= a
cx+d
(c ln a)
n
, ∀x ∈ R.
3) (ln x)
(n)
=
(−1)
n−1
(n − 1)!
x
n
, ∀x ∈ (0, +∞),
ln (ax + b)
(n)
=
(−1)
n−1
(n − 1)!
(ax + b)
n
a
n
, ∀x > −
b
a
.
4) (sin x)
(n)
= sin
x +
πn
2
!
, ∀x ∈ R,
(sin (ax + b))
(n)
= a
n
sin
ax + b +
πn
2
!
, ∀x ∈ R.
5) (cos x)
(n)
= cos
x +
πn
2
!
, ∀x ∈ R,
(cos (ax + b))
(n)
= a
n
cos
ax + b +
πn
2
!
, ∀x ∈ R.
11

Страницы