Дифференцируемость функции - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

= −1 +
3x + 1
(2x − 1)(x + 2)
= −1 +
(2x − 1) + (x + 2)
(2x − 1)(x + 2)
=
= −1 +
1
x + 2
+
1
2x − 1
= −1 + (x + 2)
−1
+ (2x − 1)
−1
.
Так как (−1)
(k)
= 0, ∀k ≥ 1, то, учитывая формулу вычисления n-ой
производной степенной функции, как и в примере 10 получим, что
y
(8)
(x) =
(x + 1)
−1
(8)
+
(2x − 1)
−1
(8)
= 8!
1
(x + 2)
9
+
2
8
(2x − 1)
9
.
Пример 11. Найти y
(20)
(x), если
a) y(x) = x
2
3
2x−1
, b) y(x) = (x + 1) sin x cos 2x.
a). Положим v(x) = 3
2x−1
, u(x) = x
2
. По формуле Лейбница получим:
y
(20)
(x) =
20
X
k=0
20!
(20 − k)! k!
(x
2
)
(k)
3
2x−1
(20−k)
.
Но (x
2
)
(k)
= 0, ∀k ≥ 3, поэтому
y
(20)
(x) = x
2
3
2x−1
(20)
+ 40x
3
2x−1
(19)
+ 380
3
2x−1
(18)
=
= x
2
3
2x−1
(2 ln 3)
20
+ 40x 3
2x−1
(2 ln 3)
19
+ 380 (2 ln 3)
18
3
2x−1
=
= 2
20
3
2x−1
(x ln 3)
2
+ 20x ln 3 + 95
ln
18
3.
b). Прежде всего заметим, что
y(x) =
1
2
(x + 1)(sin 3x − sin x), и (x + 1)
(k)
= 0, ∀k ≥ 2,
поэтому формула Лейбница примет следующий вид:
y
(20)
(x) =
1
2
(x + 1)
(0)
(sin 3x − sin x)
(20)
+ 20(x + 1)
0
(sin 3x − sin x)
(19)
,
а, значит, y
(20)
(x) =
1
2
(x + 1)
sin (3x + 10π)3
20
− sin (x + 10π)
+
+10
3
19
sin
3x +
19π
2
− sin
x +
19π
2
=
=
1
2
(x + 1)
3
20
sin 3x − sin x
− 10
3
19
cos 3x − cos x
.
Пример 12. Найти d
15
f
0
(dx), если f(x) = x(sin
4
x + cos
4
x).
13

Страницы