Дифференцируемость функции - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Так как sin
4
x + cos
4
x = 1 − 2 sin
2
x cos
2
x = 1 −
1
2
sin
2
2x =
= 1 −
1
4
(1 − cos 4x) =
3
4
+
1
4
cos 4x, то f(x) =
1
4
x(3 + cos 4x).
По формуле Лейбница
f
(15)
(x) =
1
4
15
X
k=0
15!
(15 − k)! k!
(x)
(k)
(3 + cos 4x)
(15−k)
.
Но (x)
(k)
= 0, ∀k ≥ 2, поэтому f
(15)
(x) =
1
4
x(cos 4x)
(15)
+ 15(cos 4x)
(14)
=
=
1
4
4
15
x cos
4x +
15π
2
!
+ 15 · 4
14
cos (4x + 7π)
!
=
=
1
4
4
15
x sin 4x − 15 · 4
14
cos 4x
= 4
13
(4x sin 4x − 15 cos 4x) .
Следовательно, f
(15)
(0) = −15 · 4
13
и d
15
f
0
(dx) = −15 · 4
13
· dx
15
.
Пример 13. Найти производные f
00
, f
(3)
и вычислить их значения в точке
x = −3, если функция f задана параметрически
f : x = 2t − t
2
, y = 3t − t
3
, t ∈ (−∞, 1).
В примере 7 показано, что f дифференцируема на X = (−∞, 1) и
f
0
: x = 2t − t
2
, y =
3
2
(1 + t), t ∈ T = (−∞, 1).
Так как соответствующие ей функции
ϕ
1
(t) = 2t − t
2
, ψ
1
(t) =
3
2
(1 + t)
дифференцируемы на (−∞, 1) и ψ
0
1
(t) =
3
2
, то функция f
0
(x) дифференциру-
ема на интервале X и ее производная, то есть производная второго порядка
функции f является параметрически заданной функцией
f
00
: x = 2t − t
2
, y =
3
2
·
1
2 − 2t
=
3
4(1 − t)
, t ∈ (−∞, 1).
Аналогично, так как функция ψ
2
(t) =
3
4(1 − t)
дифференцируема на интерва-
ле T, то функция f трижды дифференцируема на X, и f
(3)
является пара-
метрически заданной функцией
f
(3)
: x = 2t − t
2
, y =
ψ
0
2
(t)
ϕ
0
1
(t)
=
3
4
·
(1 − t)
−2
2(1 − t)
=
3
8
·
1
(1 − t)
3
, t ∈ T.
14

Страницы