Дифференцируемость функции - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

• Применить правило Лопиталя (возможно несколько раз) — написать це-
почку возможных (условных) равенств (=
?
), которые превращаются в ра-
венства, если существование последнего предела будет доказано.
• Вычислить предел последнего отношения. Если предел последнего от-
ношения существует и равен K, то существует предел исходного отно-
шения и он равен K, что оправдывает применение правила Лопиталя.
Если предел последнего отношения производных не существует, то ниче-
го определенного о существовании предела отношения функций сказать
нельзя.
Пример 14. Вычислить lim
x→0
ln(1 + x) − x
tg
2
x
.
Числитель и знаменатель рассматриваемого отношения являются беско-
нечно малыми функциями при x → 0, то есть имеем неопределённость вида
0
0
. При x → 0 tg x ∼ x, ln(1 + x) ∼ x. Известно, что при нахождении предела
функции сомножители (но не слагаемые!) можно заменять эквивалентными
функциями, поэтому упростим изучаемое отношение:
lim
x→0
ln(1 + x) − x
tg
2
x
= lim
x→0
ln(1 + x) − x
x
2
.
Попытаемся применить правило Лопиталя. Функции ln(1+x)−x и x
2
удовле-
творяют условиям 1) – 3) теоремы 4.16 из [3 ] на множестве (−1, 0)
S
(0, +∞).
Однако, неизвестно, существует ли предел отношения производных этих
функций при x → 0. Поэтому запишем условное равенство (в дальнейшем
символически будем писать =
?
)
lim
x→0
ln(1 + x) − x
x
2
=
?
lim
x→0
(ln(1 + x) − x)
0
(x
2
)
0
= lim
x→0
1
1 + x
− 1
2x
=
lim
x→0
x
(1 + x) · 2x
=
1
2
,
так как lim
x→0
(1 + x) = 1. Получили, что предел последнего отношения, то
есть предел отношения производных рассматриваемых функций, существует,
поэтому по правилу Лопиталя существует предел исходного отношения, он
равен 1/2, что и оправдывает первое равенство.
Пример 15. Вычислить lim
x→+0
arcsin x · ln x.
Прежде всего заметим, что при x → +0 arcsin x ∼ x и ln x → −∞. Поэтому
lim
x→+0
arcsin x · ln x = lim
x→+0
x · ln x .
16

Страницы