Дифференцируемость функции - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Имеем неопределённость вида 0 · ∞. Поскольку обратная величина к беско-
нечно большой или к бесконечно малой, отличной от тождественного нуля,
при x → a является бесконечно малой или, соответственно, бесконечно боль-
шой, а f(x) =
1
1/f(x)
(когда f(x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности
точки a), то можно свести задачу к раскрытию неопределённости вида
0
0
или
∞
∞
. Указанному преобразованию подвергается тот из сомножителей, для
которого последующие действия по вычислению производной будут более
простыми и быстрее приведут к цели. В данном случае в качестве функции
f(x) выберем функцию x и, применяя правило Лопиталя, получим, что
lim
x→+0
x ·ln x = lim
x→+0
ln x
1/x
=
?
lim
x→+0
1/x
−1/x
2
= − lim
x→+0
x = 0.
Пример 16. Вычислить lim
x→0
1
x
100
· e
1/x
2
.
Рассматриваемую функцию можно считать произведением
f(x) =
1
x
100
·
1
e
1/x
2
.
При x → 0 имеем неопределённость вида ∞·0. Для решения задачи положим
t =
1
x
2
. Тогда f(x) = ψ(t(x)), где ψ(t) = t
50
/e
t
. Заметим, что x → 0 тогда и
только тогда, когда t → +∞. Найдем lim
t→+∞
ψ(t).
lim
t→+∞
t
50
e
t
=
?
lim
t→+∞
50t
49
e
t
=
?
. . . =
?
lim
t→+∞
50 · 49 · . . . · 2t
e
t
=
?
lim
t→+∞
50!
e
t
= 0.
Здесь последовательно 50 раз применено правило Лопиталя. Так как пре-
дел последней функции существует и равен нулю, то применение правила
Лопиталя законно. Как отмечалось выше, f(x) = ψ
1
x
2
!
, x 6= 0. При этом
a) lim
x→0
1
x
2
= +∞, b)
1
x
2
6= +∞, ∀x 6= 0, c) lim
t→+∞
ψ(t) = 0.
То есть выполнены все условия теоремы о пределе суперпозиции, и потому
lim
x→0
f(x) = 0.
Заметим, что пример можно решить и без замены переменной:
lim
x→0
1
x
100
e
1/x
2
= lim
x→0
1/x
100
e
1/x
2
=
?
lim
x→0
−100
1
x
101
−2e
1/x
2
1
x
3
= 50 lim
x→0
1/x
98
e
1/x
2
=
?
. . .
17

Страницы