Дифференцируемость функции - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

∀x ∈
◦
U
0
(π/2) и lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x
2
sin(1/x) = 0, lim
x→0
ϕ(x) = lim
x→0
sin x = 0, то есть
для самих функций f и ϕ условия теоремы [3, теорема 4.16] выполняются.
Покажем с помощью теоремы Гейне (см. [3, теорема 2.31]), что при x → 0
не существует предела частного
f
0
(x)
ϕ
0
(x)
=
2x sin(1/x) + x
2
cos(1/x) · (−1/x
2
)
cos x
=
2x sin(1/x) − cos(1/x)
cos x
.
Пусть x
n
=
1
2πn
, тогда x
n
6= 0 для всех n ∈ N, x
n
→ 0 и
f
0
(x
n
)
ϕ
0
(x
n
)
= −
1
cos(1/2πn)
→ −1.
Пусть x
0
n
=
1
π
2
+ 2πn
, тогда x
0
n
6= 0 для всех n ∈ N, x
0
n
→ 0 и
f
0
(x
0
n
)
ϕ
0
(x
0
n
)
=
2
(
π
2
+ 2πn) cos(1/(
π
2
+ 2πn))
→ 0.
Следовательно, по теореме Гейне не существует lim
x→0
f
0
(x)
ϕ
0
(x)
и применение пра-
вила Лопиталя в этом случае невозможно.
b). Пусть f(x) = x−sin x, ϕ(x) = x+sin x. Функции f и ϕ дифференцируемы
на R, ϕ
0
(x) = 1 + cos x, ∀x ∈ R. Далее,
ϕ
0
(x) = 0 ⇔ 1 + cos x = 0 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + 2πk, k ∈ Z.
Очевидно, что для любой окрестности U
∞
(δ) найдется такое k ∈ Z, что
π + 2πk ∈
◦
U
∞
(δ) и ϕ
0
(π + 2πk) = 0.
Значит, одно из условий правила Лопиталя нарушено, и потому оно в данном
случае неприменимо.
3.1 Задания для самостоятельной работы
Найти следующие пределы:
1) lim
x→+∞
π − 2 arctg x
ln(1 + 1/x)
; 2) lim
x→0
(ctg x − 1/x);
3) lim
x→0
arcsin x
x
!
1/x
2
; 4) lim
x→1
x
x
− 1
ln x
;
19

Страницы