Дифференцируемость функции - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1. Если f(x) = o(ϕ(x)), g(x) = o(ϕ(x)), при x → a, то для любых α, β ∈ R
αf(x) + βg(x) = o(ϕ(x)) при x → a.
2. Если f(x) = o(ψ(x)ϕ(x)) при x → a, где ψ(x) — локально ограниченная
в точке a функция, то f(x) = o(ϕ(x)) при x → a. В частности, если
c ∈ R \ {0} и при x → a f(x) = o(cϕ(x)), то f(x) = o(ϕ(x)) при x → a.
3. Если 0 < α < β, f(x) = o(ϕ
β
(x)) при x → a, то f(x) = o(ϕ
α
(x)) при
x → a.
4. Если f
1
(x) = o(ϕ
1
(x)), f
2
(x) = o(ϕ
2
(x)) при x → a, то
f
1
(x)f
2
(x) = o(ϕ
1
(x)ϕ
2
(x)) при x → a.
5. Если f(x) = o(ϕ
α
(x)) при x → a, то ϕ
β
(x)f(x) = o(ϕ
α+β
(x)) при x → a.
6. Если f(x) = o(ϕ(x)) и ϕ(x) ∼ ψ(x) при x → a, то f(x) = o(ψ(x)) при
x → a.
4.1 Разложение функции по формуле Тейлора
Пример 20. Многочлен p(x) = x
3
− 2x
2
+ 3x − 1 разложить по целым
неотрицательным степеням (x − 1). Указать p
00
(1).
p(x) = ((x − 1) + 1)
3
− 2((x − 1) + 1)
2
+ 3((x − 1) + 1) − 1 =
= (x − 1)
3
+ (x − 1)
2
+ 2(x − 1) + 1.
Так как в формуле Тейлора коэффициент при (x − a)
k
равен p
(k)
(a)/k!, то
p
00
(1)/2! = 1, поэтому p
00
(1) = 2! = 2.
Пример 21. Разложить по формуле Тейлора – Маклорена до o(x
4
) при
x → 0 следующие функции:
a) f(x) =
1 + 2x + x
2
1 − x − x
2
, b) f(x) = tg x.
a) Произведем деление многочлена 1 + 2x + x
2
на многочлен 1 − x − x
2
и
получим, что
Поскольку f(x) = 1 + 3x + 5x
2
+ 8x
3
+
13x
4
+ 8x
5
1 − x − x
2
и при x → 0
ϕ(x) =
13x
4
+ 8x
5
1 − x − x
2
∼ 13x
4
,
то ϕ(x) = 13x
4
+ o(13x
4
). Тогда по свойству 2) o-символа имеем: f(x) =
1 + 3x + 5x
2
+ 8x
3
+ 13x
4
+ o(x
4
), x → 0.
21

Страницы