Дифференцируемость функции - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1 + 2x + x
2
1 − x − x
2
1 − x − x
2
1 + 3x + 5x
2
+ 8x
3
3x + 2x
2
3x − 3x
2
− 3x
3
5x
2
+ 3x
3
5x
2
− 5x
3
− 5x
4
8x
3
+ 5x
4
8x
3
− 8x
4
− 8x
5
13x
4
+ 8x
5
b) Так как f(0) = 0, f
0
(0) = 1, f
00
(0) = 0, f
(3)
(0) = 2, f
(4)
(0) = 0, то,
применяя формулу Маклорена, получим f(x) = x +
x
3
3
+ o(x
4
), x → 0.
Пример 22. Разложить по формуле Тейлора – Маклорена до указанного
порядка следующие функции:
a) f(x) = e
5x−1
до o(x
n
); b) f(x) = ln(9 − 4x) до o(x
3
).
a). f(x) = e
5x−1
= e
−1
e
5x
. Воспользуемся приведенным выше разложением
функции e
t
при t → 0. Можно положить t = 5x, так как t = 5x → 0 при
x → 0. Поэтому
f(x) = e
−1
n
X
k=0
(5x)
k
k!
+ o((5x)
n
)
, x → 0.
Из свойства 2) o-символа получаем, что o(5
n
x
n
) = o(x
n
) при x → 0, а из
свойства 1) — e
−1
o(x
n
) = o(x
n
) при x → 0. Таким образом,
f(x) =
n
X
k=0
5
k
e k!
x
k
+ o(x
n
), x → 0.
b). Используя приведенное выше разложение функции ln(1 + x) при x → 0,
получим, что
f(x) = ln(9 − 4x) = ln (9(1 − 4/9x)) = ln 9 + ln(1 − 4/9x) =
= ln 9 +
−
4x
9
!
−
1
2
−
4x
9
!
2
+
1
3
−
4x
9
!
3
+ o
−
4x
9
!
3
=
= ln 9 −
4
9
x −
8
81
x
2
−
4
3
3
7
x
3
+ o(x
3
) при x → 0.
22

Страницы