Дифференцируемость функции - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

5) lim
x→+0
(arcsin x)
tg x
; 6) lim
x→0
(1 + x)
1/x
e
1/x
;
7) lim
x→+0
x ln x
(−ln x)
x
; 8) lim
x→0
(a + x)
x
− a
x
x
2
, (a > 0).
4 Формула Тейлора
Формула Тейлора (см. [3, раздел 4.11]) — мощный инструмент исследова-
ния поведения функции. Прежде чем привести примеры её использования,
напомним разложения по формуле Тейлора – Маклорена основных элемен-
тарных функций при t → 0.
1) e
x
=
n
X
k=0
x
k
k!
+ o(x
n
) = 1 + x +
x
2
2!
+ ··· +
x
n
n!
+ o(x
n
);
2) sin x =
n
X
k=0
x
2k+1
(2k + 1)!
+ o(x
2k+2
) = x −
x
3
3!
− ··· + (−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
+ o(x
2n+2
);
3) cos x =
n
X
k=0
x
2k
(2k)!
+ o(x
2k+1
) = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
+ ··· + (−1)
n
x
2n
(2n)!
+ o(x
2n+1
);
4) (1 + x)
α
= 1 +
n
X
k=1
α(α − 1) . . . (α −(k −1))
k!
x
k
+ o(x
k
) =
= 1 + αx +
α(α − 1)
2!
x
2
+ ··· +
α(α − 1) . . . (α −(n −1))
n!
x
n
+ o(x
n
);
5)
1
1 + x
=
n
X
k=0
(−1)
k
x
k
+ o(x
k
) = 1 − x + x
2
+ ··· + (−1)
n
x
n
+ o(x
n
);
6)
1
1 − x
=
n
X
k=0
x
k
+ o(x
k
) = 1 + x + x
2
+ ··· + x
n
+ o(x
n
);
7) ln (1 + x) =
n
X
k=1
(−1)
k−1
x
k
k
+ o(x
k
) = x −
x
2
2
+
x
3
3
+ ··· + (−1)
n−1
x
n
n
+ o(x
n
).
В этих формулах используется операция сравнения функций — f(x) =
o(ϕ(x)) при x → a (см. [3, раздел 2.2.8]). Напомним, что такая запись ука-
зывает на то, что функция f принадлежит классу функций, представимых в
виде f(x) = α(x)ϕ(x), где α(x) → 0 при x → a.
При работе с символом o надо знать его свойства. Напомним их, например,
для бесконечно малых функций при x → a .
20

Страницы