Дифференцируемость функции - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Пример 23. Разложить в окрестности точки x
0
= 1 по формуле Тейлора
до o((x − 1)
4
) функцию f(x) =
√
x.
Так как
√
x =
q
1 + (x − 1) = (1 + (x − 1))
1
2
, t = x − 1 → 0, при x → 1, то,
используя разложение 4) при x → 1 и α = 1/2, получим, что
f(x) = 1 +
1
2
(x − 1) +
1
2
−
1
2
!
1
2!
(x − 1)
2
+
1
2
−
1
2
!
−
3
2
!
1
3!
(x − 1)
3
+
+
1
2
−
1
2
!
−
3
2
!
−
5
2
!
1
4!
(x − 1)
4
+ o((x − 1)
4
) =
= 1 +
1
2
(x − 1) −
1
8
(x − 1)
2
+
1
16
(x − 1)
3
−
5
128
(x − 1)
4
+ o((x − 1)
4
) .
Пример 24. Разложить в окрестности бесконечно удалённой точки по фор-
муле Тейлора до o
1
x
4
!
функцию f(x) = ln
x + 1
x
.
f(x) = ln(1 +1/x). Заметим, что t =
1
x
→ 0 при x → ∞. Применяя формулу
7), получим, что при x → ∞
f(x) =
1
x
−
1
2x
2
+
1
3x
3
−
1
4x
4
+ o
1
x
4
!
, .
Пример 25. Разложить в окрестности точки x
0
по формуле Тейлора –
Маклорена до указанного порядка следующие функции:
a) f(x) = cos
4
x + sin
4
x, x
0
= 0, до o(x
5
);
b) f(x) =
√
cos x, x
0
= 0, до o(x
4
).
a). f(x) = cos
4
x + sin
4
x = (cos
2
x + sin
2
x)
2
− 2 cos
2
x sin
2
x =
= 1 −
1 − cos 4x
4
=
3
4
+
1
4
cos 4x .
Из формулы 3) разложения cos x следует, что при x → 0
f(x) =
3
4
+
1
4
1 −
(4x)
2
2!
+
(4x)
4
4!
+ o(x
5
)
= 1 − 2x
2
+
8
3
x
4
+ o(x
5
) .
b). Способ 1. Используем разложение 3) при x → 0:
√
cos x =
1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
+ o(x
5
)
1
2
=
1 +
−
x
2
2!
+
x
4
4!
+ o(x
5
)
1
2
.
23

Страницы