ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
a). Функции, стоящие в числителе и знаменателе дроби, являются беско-
нечно малыми при x → 0, поэтому имеем неопределённость вида 0/0. Разло-
жим при x → 0 числитель и знаменатель дроби по формуле Маклорена, при
этом ограничимся первыми отличными от нуля слагаемыми:
ln(1 − x) + x = −x −
x
2
2
+ o(x
2
) + x = −
x
2
2
+ o(x
2
),
1 + x cos x −
√
1 + 2x = 1 + x (1 + o(x)) −
1 +
1
2
2x −
1
8
(2x)
2
+ o(x
2
)
!
=
=
1
2
x
2
+ o(x
2
).
Тогда
lim
x→0
1 + x cos x −
√
1 + 2x
ln(1 − x) + x
= lim
x→0
1
2
x
2
+ o(x
2
)
−
1
2
x
2
+ o(x
2
)
= lim
x→0
1
2
+ o(1)
−
1
2
+ o(1)
= −1.
b). lim
x→+∞
(
6
√
x
6
+ x
5
−
6
√
x
6
− x
5
) = lim
x→+∞
x
6
v
u
u
t
1 +
1
x
−
6
v
u
u
t
1 −
1
x
.
Способ 1. Выражение, стоящее в круглых скобках, в окрестности беско-
нечно удалённой точки разложим по формуле Тейлора до первого отличного
от нуля слагаемого:
lim
x→+∞
x
1 +
1
6x
+ o
1
x
!!
−
1 −
1
6x
+ o
1
x
!!!
=
= lim
x→+∞
x
1
3x
+ o
1
x
!!
= lim
x→+∞
1
3
+ o(1)
!
=
1
3
.
Способ 2. Пусть t =
1
x
. При x → +∞ t → +0, и наоборот. Тогда
lim
x→+∞
(
6
√
x
6
+ x
5
−
6
√
x
6
− x
5
) =
= lim
t→0
6
√
1 + t −
6
√
1 − t
t
= lim
t→0
1 +
t
6
+ o(t)
!
−
1 −
t
6
+ o(t)
!
t
=
= lim
t→0
t
3
+ o(t)
t
= lim
t→0
1
3
+ o(1)
!
=
1
3
.
25
