ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
c). lim
x→1
1
ln x
−
1
x − 1
!
= lim
x→1
x − ln x − 1
(x − 1) ln x
=
= lim
x→1
(x − 1) − ln(1 + (x − 1))
(x − 1)
2
.
Числитель дроби в окрестности точки 1 разложим по формуле Тейлора:
lim
x→1
(x − 1) −
(x − 1) −
(x − 1)
2
2
+ o((x − 1)
2
)
(x − 1)
2
=
= lim
x→1
1
2
(x − 1)
2
+ o((x − 1)
2
)
(x − 1)
2
= lim
x→1
1
2
+ o(1)
!
=
1
2
.
d). Прежде всего, упростим знаменатель дроби, заменяя его на эквива-
лентное при x → 0 выражение −x
3
:
lim
x→0
e
sin x
−
√
1 + x
2
− x cos x
ln
3
(1 − x)
= lim
x→0
e
sin x
−
√
1 + x
2
− x cos x
−x
3
.
При x → 0 числитель дроби разложим до o(x
3
). Поскольку
e
sin x
= exp
x −
x
3
3!
+ o(x
4
)
= 1 +
x −
x
3
3!
+ o(x
4
)
+
+
1
2
x −
x
3
3!
+ o(x
4
)
2
+
1
6
x −
x
3
3!
+ o(x
4
)
3
+ o(x
3
) =
= 1 + x −
x
3
6
+
x
2
2
+
x
3
6
+ o(x
3
) = 1 + x +
x
2
2
+ o(x
3
),
то при x → 0 разложение числителя дроби будет иметь вид
e
sin x
−
√
1 + x
2
− x cos x = 1 + x +
x
2
2
+ o(x
3
) −
1 +
x
2
2
+ o(x
3
)
−
−x
1 −
x
2
2
+ o(x
3
)
=
x
3
2
+ o(x
3
). Тогда lim
x→0
1
2
x
3
+ o(x
3
)
−x
3
= −
1
2
.
4.3 Задания для самостоятельной работы
1. Разложить в окрестности точки a по формуле Тейлора до указанного
порядка следующие функции:
26
