Дифференцируемость функции - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Так как −
x
2
2!
+
x
4
4!
+o(x
5
) → 0 при x → 0, то применяя разложение 4), получим:
f(x) = 1 +
1
2
−
x
2
2!
+
x
4
4!
+ o(x
5
)
+
1
2
−
1
2
!
1
2
−
x
2
2!
+
x
4
4!
+ o(x
5
)
2
+
+ o
−
x
2
2!
+
x
4
4!
+ o(x
5
)
2
= 1 −
x
2
4
+
1
48
−
1
32
!
x
4
+ o(x
4
) =
= 1 −
x
2
4
−
x
4
96
+ o(x
4
).
Способ 2. Поскольку cos x → 1 при x → 0, то, по аналогии с примером
(23), получим, что при x → 0
f(x) =
√
cos x =
q
1 + (cos x − 1) = 1 +
1
2
(cos x − 1) −
1
8
(cos x − 1)
2
+
+
1
16
(cos x − 1)
3
−
5
128
(cos x − 1)
4
+ o((cos x − 1)
4
).
Далее, используем разложение 3):
f(x) = 1 +
1
2
−
x
2
2!
+
x
4
4!
+ o(x
5
)
−
1
8
−
x
2
2!
+
x
4
4!
+ o(x
5
)
2
+
+o
−
x
2
2!
+
x
4
4!
2
= 1 −
x
2
4
−
x
4
96
+ o(x
4
), x → 0.
Замечание. Применяя идею способа 2, разложение функции f(x) = tg x
по формуле Тейлора можно получить, представляя её в виде
f(x) = sin x(1 − sin
2
x)
1/2
и используя разложения 2), 4).
4.2 Применение формулы Тейлора к вычислению пределов
Пример 26. Вычислить следующие пределы:
a) lim
x→0
1 + x cos x −
√
1 + 2x
ln(1 − x) + x
, b) lim
x→+∞
(
6
√
x
6
+ x
5
−
6
√
x
6
− x
5
),
c) lim
x→1
1
ln x
−
1
x − 1
, d) lim
x→0
e
sin x
−
√
1 + x
2
− x cos x
ln
3
(1 − x)
.
24

Страницы