Дифференцируемость функции - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

При решении примера 7 мы выяснили, что прообразом точки x = −3 при
отображении ϕ(t) = 2t −t
2
на интервале T = (−∞, 1) является точка t = −1,
поэтому f
00
(−3) = ψ
2
(−1) =
3
8
, f
(3)
(−3) =
3
8 · 2
3
=
3
64
.
2.1 Задания для самостоятельной работы
1. Найти y
(10)
(x) и d
10
y
x
(dx), если
a) y(x) =
(3 − 2x)
√
3x − 2
, b) y(x) = (1 − 3x + x
2
) sin x · sin 2x · sin 3x,
c) y(x) =
1 + x
2
1 − x
2
, d) y(x) = (x
2
− x + 1) · ln (1 − 2x).
2. Найти y
(5)
(x) и d
5
y
x
(dx), если
a) y(x) =
(x + 1)
x
2
+ x − 2
, b) y(x) = (2 − 3x) · 2
−3x+5
,
c) y(x) = (x − 1)
3
√
1 − 3x, c) y(x) = (x − x
2
) sin
2
(1 − x).
3. Найти f
00
x
2
, если f : X ⊂ R → R и f задана параметрически
a) f : x =
3
q
1 −
√
t, y =
q
1 −
3
√
t, t ∈ (0, 1),
b) f : x = e
2t
cos
2
t, y = e
2t
sin
2
t, t ∈ (0, π/2),
c) f : x = t
2
+ 6t + 5, y =
t
3
− 54
t
, t ∈ (−3, 0).
d) f : x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t), t ∈ (π, 2π),
e) f : x = t
3
+ 2t
2
+ t, y = −2 + 3t − t
3
, t > 1.
3 Правило Лопиталя
Правило Лопиталя (см. [3, раздел 4.10]) используется при поиске предела
отношения двух дифференцируемых функций для раскрытия неопределённо-
стей вида
0
0
,
∞
∞
. В случае неопределённостей другого вида исходное выраже-
ние пытаются преобразовать так, чтобы получилась неопределённость вида
0
0
или
∞
∞
.
Алгоритм применения правила Лопиталя можно описать так.
• До применения правила Лопиталя упроcтить выражение, переходя к бо-
лее простым эквивалентным сомножителям, если это возможно.
15

Страницы