Дифференцируемость функции - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Если функции u, v n раз дифференцируемы на множестве X, то для любых
чисел α, β функция αu + βv и функция uv являются n раз дифференцируе-
мыми на множестве X и
(αu + βv)
(n)
= αu
(n)
+ βv
(n)
,
(uv)
(n)
=
n
X
k=0
n!
(n − k)! k!
u
(k)
v
(n−k)
.
Последнюю формулу называют формулой Лейбница (см. [3, разделы 4.7,
4.8]). Аналогичные формулы имеют место и для дифференциалов высших
порядков.
Пример 9. Найти y
00
и d
2
y, если
a) y = e
−x
2
, b) y = (1 + x
2
) arctg x , c) y = f(x
2
) ,
где f — дифференцируемая функция, а x — независимая переменная.
a). y
0
= −2x e
−x
2
, поэтому
y
00
= −2
e
−x
2
+ xe
−x
2
(−2x)
, d
2
f
x
(dx) = −2(1 − 2x
2
)e
−x
2
dx
2
.
b). y
0
= 2x arctg x + 1, поэтому
y
00
= 2
arctg x +
x
1 + x
2
!
, d
2
f
x
(dx) = 2
arctg x +
x
1 + x
2
!
dx
2
.
c). y
0
= f
0
(x
2
) · 2x, поэтому
y
00
= (2x)
2
f
00
(x
2
) + 2f
0
(x
2
), d
2
f
x
(dx) =
(2x)
2
f
00
(x
2
) + 2f
0
(x
2
)
dx
2
.
Пример 10. Найти y
(8)
(x), если
a) y(x) =
x
2
1 − x
, b) y(x) =
3 − 2x
2
2x
2
+ 3x −2
.
a). Преобразуем исходную функцию
y(x) = −
x
2
x − 1
= −
(x
2
− 1) + 1
x − 1
= −(x + 1) −
1
x − 1
= −(x + 1) − (x − 1)
−1
.
Поскольку (x+1)
(8)
= 0, то, учитывая формулу вычисления n-ой производной
степенной функции, получим, что
y
(8)
= −(−1)(−2) · . . . · (−1 − 8 + 1)(x − 1)
−1−8
= −8!(x − 1)
−9
.
b). Преобразуем исходную функцию
y(x) = −
2x
2
− 3
2x
2
+ 3x − 2
= −
(2x
2
+ 3x − 2) − (3x + 1)
2x
2
+ 3x − 2
=
12

Страницы