Дифференцируемость функции - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2. Исследовать на дифференцируемость в точке x = 0 функцию
f(x) =
x, если x ≤ 0,
ln(x + 1), если x > 0.
Так как функция f по разные стороны от точки x = 0 задана разными
законами, то сначала найдем ее односторонние пределы в точке x = 0:
lim
x→−0
f(x) = lim
x→0
f
(−∞,0]
(x) = lim
x→0
x = 0,
lim
x→+0
f(x) = lim
x→0
f
(0,+∞)
(x) = lim
x→0
ln(1 + x) = 0.
Итак, f(−0) = f(+0) = 0 = f(0). Поэтому функция f непрерывна в точке
x = 0, а, значит, удовлетворяет необходимому условию дифференцируемости
функции в точке. Рассмотрим разностное отношение
f(0 + ∆x) − f(0)
∆x
=
f(∆x)
∆x
.
lim
∆x→−0
f(∆x)
∆x
= lim
∆x→−0
∆x
∆x
= 1, lim
∆x→+0
f(∆x)
∆x
= lim
∆x→+0
ln(1 + ∆x)
∆x
= 1. Следо-
вательно, существует предел lim
∆x→0
f(0 + ∆x) − f(0)
∆x
= 1, поэтому f
0
(0) = 1 и
функция f дифференцируема в точке x = 0.
Заметим что в подобных случаях можно воспользоваться следующим, до-
статочно легко доказываемым, утверждением:
Если функция f непрерывна в точке x = a, дифференцируема в некото-
рой проколотой окрестности этой точки и существует предел lim
x→a−0
f
0
(x)
(соответственно, lim
x→a+0
f
0
(x)), то этот предел равен f
0
(a − 0) (соответ-
ственно, f
0
(a + 0)). Если при этом f
0
(a − 0) = f
0
(a + 0) ∈ R, то функция f
дифференцируема в точке a.
В рассматриваемом примере f
0
(x) = 1, если x < 0, f
0
(x) =
1
1 + x
, если
x > 0. Поэтому lim
x→−0
f
0
(x) = 1, lim
x→+0
f
0
(x) = 1, а значит
∃f
0
(−0) = 1, ∃f
0
(+0) = 1, а потому ∃f
0
(0) = 1,
то есть функция f дифференцируема в точке x = 0.
Пример 3. Указать область дифференцируемости функций
a) f(x) = x ·
√
x; b) f(x) =
√
x · cos x.
5

Страницы