ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
Ряд Фурье
1. Тригонометрическим рядом называют ряд вида
),sincos(
2
1
0
X
l
k
bX
l
k
a
a
k
k
k
ππ
++
∑
∞
=
(1.1)
где
kk
ba
,
- числовые коэффициенты.
Следует отметить, что все тригонометрические функции, входящие в (1.1) имеют
общий период
,
2
l
и если ряд (1.1) сходится и )(
*
xf его сумма, то )(
*
xf
определена на
)
,
(
+∞
−∞
и также является периодической функцией с тем же
периодом
.
2
l
Такое определение тригонометрического ряда достаточно формально. Более
естественным является другой “ физический “ подход .
Рассмотрим последовательность простейших гармонических функций (гармоник)
вида
∞−=+ ,...;2,1);
2
sin( kX
T
A
kk
ϕ
κπ
<Х >
∞
+
(1.2)
Они называются гармониками с кратными частотами. У всех у них Т-общий
период .
Рассмотрим суперпозицию этих гармоник
)
2
sincos
2
cossin()
2
sin(
11
00
∑∑
∞
=
∞
=
++=++
kk
kkkkkk
X
T
A
T
AAX
T
AA
πκ
ϕ
πκ
ϕϕ
πκ
(1.3)
Полагая ,2,cos,sin,
2
0
0
TlAbAaA
a
kkkkkk
==== ϕϕ получим
∑∑
∞
=
∞
=
++=++
11
0
0
,sincos
2
)
2
sin(
k
k
k
kkk
X
l
bX
l
a
a
X
T
AA
κπκπ
ϕ
πκ
приходим к ряду (1.1).
2. Пусть теперь имеется функция ),(
*
xf определенная на
)
,
(
+∞
−∞
и
периодическая с периодом
.
2
l
Построим ряд (1.1), в котором коэффициенты
kk
ba
,
вычислены специальным образом по формулам
3
Ряд Фурье
1. Тригонометрическим рядом называют ряд вида
a0 ∞ kπ kπ
+ ∑ ( ak cos X +bk sin X ), (1.1)
2 k =1 l l
где a k , bk -числовые коэффициенты.
Следует отметить, что все тригонометрические функции, входящие в (1.1) имеют
общий период 2l , и если ряд (1.1) сходится и f * ( x) его сумма, то f * ( x)
определена на ( −∞,+∞) и также является периодической функцией с тем же
периодом 2l.
Такое определение тригонометрического ряда достаточно формально. Более
естественным является другой “ физический “ подход.
Рассмотрим последовательность простейших гармонических функций (гармоник)
вида
2κπ
Ak sin( X +ϕ k ); k =1,2,...; −∞ <Х> +∞ (1.2)
T
Они называются гармониками с кратными частотами. У всех у них Т-общий
период.
Рассмотрим суперпозицию этих гармоник
∞ 2πκ ∞ 2πκ 2πκ
A0 + ∑ Ak sin( X +ϕ k ) =A0 + ∑ ( Ak sin ϕ k cos +Ak cos ϕ k sin X ) (1.3)
k =1 T k =1 T T
a0
Полагая =A0 , ak =Ak sin ϕ k , bk =Ak cosϕ k , 2l =T , получим
2
∞ 2πκ a ∞ κπ κπ
A0 + ∑ Ak sin( X +ϕ k ) = 0 + ∑ ak cos X +bk sin X,
k =1 T 2 k =1 l l
приходим к ряду (1.1).
2. Пусть теперь имеется функция f * ( x), определенная на ( −∞,+∞) и
периодическая с периодом 2l. Построим ряд (1.1), в котором коэффициенты
ak ,bk вычислены специальным образом по формулам
