Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Косарев А.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
)4.1(..,...)2,1,0(sin)(
1
,...);2,1,0(cos)(
1
*
*
∫
∫
−
−
==
==
l
l
k
l
l
k
kXdx
l
xf
l
b
kXdx
l
xf
l
a
κπ
κπ
Эти коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции ),(
*
xf а сам
ряд (1.1) в этом случае называется рядом Фурье функции ).(
*
xf Записывают это
так:
)(
*
xf ~
)5.1(sincos
2
1
0
∑
∞
=
++
k
kk
X
l
bX
l
a
a
κπκπ
Если ряд (1.5) сходится (об условиях его сходимости ниже), то его сумма
)
(
x
S
равна :
∑
∞
=
−++
=++=
1
0
.
)6.1(,
2
)0()0(
),(
sincos
2
)(
k
kk
родапервого
разрываточкаХесли
xfxf
стинепрерывноточкаХеслиxf
X
l
bX
l
a
a
xS
κπκπ
3. На практике приходится раскладывать в ряд Фурье функцию
),
(
x
f
заданную
на промежутке
]
[
[
]
..)2,0(, дтиlll
−
( в физике ее называют “сигналом”)
Для этого сначала приходится делать ее периодическое продолжение на всю
числовую осью (см .рис.1) и раскладывать в ряд Фурье функцию
(
)
.xf
Поэтому на всей оси
)
,
(
+∞
−∞
суммой ряда будет )(
*
xf (с учетом (1.6)), а на
промежутке
]
[
ll ,
−
-
)
(
x
f
(опять таки с учетом (1.6))
Если
)
(
x
f
задана на промежутке
]
[
),.,,(,0 дтиlaal
+
то ее возможно
разложить в ряд Фурье , вообще говоря, бесчисленным количеством способов . На
практике ,однако, используются два : 
                                                4

                            1l             κπ
                        ak = ∫f * ( x) cos    Xdx    ( k =0,1,2,...);
                            l −l            l
                            1l *         κπ
                        bk = ∫f ( x) sin    Xdx      ( k =0,1,2,...).           (1.4)
                            l −l          l

Эти коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции f * ( x), а сам
ряд (1.1) в этом случае называется рядом Фурье функции f * ( x). Записывают это
так:


                    a0 ∞         κπ           κπ
       f * ( x) ~     + ∑ ak cos    X +bk sin    X                      (1.5)
                    2 k =1        l            l

Если ряд (1.5) сходится (об условиях его сходимости ниже), то его сумма
S (x) равна:

                                            �      f ( x),   если Х точка непрерывности
        a    ∞        κπ           κπ     � � f ( x +0) + f ( x −0)
S ( x) = 0 +∑ a k cos    X +bk sin    X =�                          , если Х точка разрыва   (1.6)
         2 k =1        l            l        �             2
                                               ��                       первого рода.

3. На практике приходится раскладывать в ряд Фурье функцию f (x), заданную
на промежутке [−l , l ] [(0,2l ) ]и т.д. ( в физике ее называют “сигналом”)
Для этого сначала приходится делать ее периодическое продолжение на всю
числовую осью (см .рис.1) и раскладывать в ряд Фурье функцию f ∗(x ).




Поэтому на всей оси ( −∞,+∞) суммой ряда будет f * ( x ) (с учетом (1.6)), а на
промежутке [−l, l ]- f (x) (опять таки с учетом (1.6))
   Если f (x) задана на промежутке [0, l ] (a, a +l , и т.д), то ее возможно
разложить в ряд Фурье, вообще говоря, бесчисленным количеством способов. На
практике ,однако, используются два:

Страницы